Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{3} + 1}{3 x + 6}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} + 1}{3 x + 6}$ nicht definiert ist.

$x = - 2$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{3 x + 6}$

Schritt 5.1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{3 x + 6}$

Schritt 5.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{3 x + 6}$

Schritt 5.1.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 x + 6}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 6$ heraus.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 (x) + 6}$

Schritt 5.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 x + 3 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 2$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.6

Entferne die Klammern.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.7

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.8

Stelle $x$ und $1$ um.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.9

Entferne die Klammern.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.13

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.14

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.18

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.19

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.20

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.22

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.23

Bewege $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.24

Bewege $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.25

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.26

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.27

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.2.28

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{3 (x + 2)}$

Schritt 5.3

Multipliziere $3 (x + 2)$ aus.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} + 1}{3 x + 3 \cdot 2}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} + 1}{3 x + 6}$

Schritt 5.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$6$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 5.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$\frac{x^{2}}{3}$
	$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Schritt 5.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 5.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 5.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 5.9

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$\frac{x^{2}}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 5.10

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 5.11

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 5.12

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} - 4 x$

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 5.13

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Schritt 5.14

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$

Schritt 5.15

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$

Schritt 5.16

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							+	$4 x$	+	$8$

Schritt 5.17

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x + 8$

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							-	$4 x$	-	$8$

Schritt 5.18

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{x^{2}}{3}$	-	$\frac{2 x}{3}$	+	$\frac{4}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							-	$4 x$	-	$8$
									-	$7$

Schritt 5.19

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - \frac{7}{3 x + 6}$

Schritt 5.20

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 2$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 7