Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 12 x + 8 y = - 40$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x + 8 y = - 40 - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x = - 40 - y^{2} - 8 y$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x = - 40 - y^{2} - 8 y$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x = - 40 - y^{2} - 8 y$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 40}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 40}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 40}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 40$ und $- 12$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 40$ heraus.

$x = \frac{- 4 (10)}{- 12} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12$ heraus.

$x = \frac{- 4 \cdot 10}{- 4 \cdot 3} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 4 \cdot 10}{- 4 \cdot 3} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{10}{3} + \frac{- y^{2}}{- 12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 8 y}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $- 12$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.3.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 8 y$ heraus.

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 (2 y)}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12$ heraus.

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 (3)}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 (2 y)}{- 4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{10}{3} + \frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3}$ an.

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Schritt 1.2.1

Bewege $\frac{10}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{2 y}{3} + \frac{10}{3}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{10}{3}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{\frac{1}{12}}$ .

$d = \frac{1}{3 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{\frac{3}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$d = \frac{1}{\frac{3 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.4.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.4.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.4.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$d = 4$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{10}{3} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{10}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{9} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{3 (3)} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{10}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{10}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{10 - 4}{3}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $4$ von $10$ .

$e = \frac{6}{3}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $6$ durch $3$ .

$e = 2$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{12} {(y + 4)}^{2} + 2$ ein.

$\frac{1}{12} {(y + 4)}^{2} + 2$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y + 4)}^{2} + 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$h = 2$

$k = - 4$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, - 4)$

Schritt 4