Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 2 x^{2} - 4 x}{4 x + 8}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{- 2 x^{2} - 4 x}{4 x + 8}$ nicht definiert ist.

$x = - 2$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (- x) - 4 x}{4 x + 8}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{2 x (- x) + 2 x (- 2)}{4 x + 8}$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x) + 2 x (- 2)$ heraus.

$\frac{2 x (- x - 2)}{4 x + 8}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 8$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 x (- x - 2)}{4 (x) + 8}$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 x (- x - 2)}{4 x + 4 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 x (- x - 2)}{4 (x + 2)}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (- x - 2)$ heraus.

$\frac{2 (x (- x - 2))}{4 (x + 2)}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (x + 2)$ heraus.

$\frac{2 (x (- x - 2))}{2 (2 (x + 2))}$

Schritt 6.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x (- x - 2))}{2 (2 (x + 2))}$

Schritt 6.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- x - 2)}{2 (x + 2)}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 2$ und $x + 2$ .

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- (x) - 2)}{2 (x + 2)}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{x (- (x) - 1 (2))}{2 (x + 2)}$

Schritt 6.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{x (- (x + 2))}{2 (x + 2)}$

Schritt 6.1.4.4

Schreibe $- (x + 2)$ als $- 1 (x + 2)$ um.

$\frac{x (- 1 (x + 2))}{2 (x + 2)}$

Schritt 6.1.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 1 (x + 2))}{2 (x + 2)}$

Schritt 6.1.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot (- 1)}{2}$

Schritt 6.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2}$

Schritt 6.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{2}$

Schritt 6.2

Kehre das Vorzeichen von $x$ um.

$\frac{- x}{2}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2$

$x$

$0$

Schritt 6.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2$ .

		-	$\frac{x}{2}$
	$2$	-	$x$	+	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

	-	$\frac{x}{2}$
$2$	-	$x$	+	$0$
	-	$x$

Schritt 6.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x$

	-	$\frac{x}{2}$
$2$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$

Schritt 6.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

	-	$\frac{x}{2}$
$2$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$
		$0$

Schritt 6.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

	-	$\frac{x}{2}$
$2$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$
		$0$	+	$0$

Schritt 6.9

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- \frac{x}{2}$

Schritt 6.10

Da aus der Polynomendivision kein polynomialer Teil resultiert, gibt es keine schiefen Asymptoten.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 8