Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{x^{2} - 2 x - 2} + \sqrt{2 x - 3} = 5$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 2 x - 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 2 x - 2 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Schritt 2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1 - \sqrt{3}$

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$

$x > 1 + \sqrt{3}$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1 - \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1 - \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 - 2 \geq 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $13$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2 \geq 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $- 2$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1 + \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1 + \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(5)}^{2} - 2 \cdot 5 - 2 \geq 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $13$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1 - \sqrt{3}$ Wahr

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Falsch

$x > 1 + \sqrt{3}$ Wahr

$x < 1 - \sqrt{3}$ Wahr

$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$ Falsch

$x > 1 + \sqrt{3}$ Wahr

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 1 - \sqrt{3}$ oder $x \geq 1 + \sqrt{3}$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 3 \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq 3$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{3}{2}$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[1 + \sqrt{3}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 1 + \sqrt{3}}$

Schritt 6