Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x^{2}) + x (3 x)$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2} + 3 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1.1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 6.1.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2} + 3 (x) - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.1.2.1.2

Schreibe $3$ um als $- 3$ plus $6$

$\frac{x (9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x ((9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$\frac{x ((3 x - 1) (3 x + 2))}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 x - 2}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + 3 (x) - 2}$

Schritt 6.1.2.1.2

Schreibe $3$ um als $- 3$ plus $6$

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} + (- 3 + 6) x - 2}$

Schritt 6.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{9 x^{2} - 3 x + 6 x - 2}$

Schritt 6.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(9 x^{2} - 3 x) + 6 x - 2}$

Schritt 6.1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{3 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1)}$

Schritt 6.1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 1$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 x - 1) (3 x + 2)}{(3 x - 1) (3 x + 2)}$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 2$ .

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Schritt 6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Schritt 6.1.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x$

Schritt 6.2

Da aus der Polynomendivision kein polynomialer Teil resultiert, gibt es keine schiefen Asymptoten.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 8