Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ nicht definiert ist.

$x = - 2, x = 3$

Schritt 2

Da $\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $3$ von links und $\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $3$ von rechts, dann ist $x = 3$ eine vertikale Asymptote.

$x = 3$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

Schritt 6.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

Schritt 6.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x$

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

Schritt 6.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

Schritt 6.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

Schritt 6.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

Schritt 6.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

Schritt 6.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x^{3} - 36 x^{2} - 27 x + 162$

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

Schritt 6.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

$48 x^{2}$

$16 x$

$160$

Schritt 6.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x + 9 + \frac{48 x^{2} + 16 x - 160}{x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18}$

Schritt 6.12

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x + 9$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 3$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x + 9$

Schritt 8