Elementarmathematik Beispiele

$\frac{(2 x - 1) {(x + 4)}^{2} (x - 1) (3 x + 2)}{3 x (x - 4) {(2 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{(2 x - 1) {(x + 4)}^{2} (x - 1) (3 x + 2)}{3 x (x - 4) {(2 x - 1)}^{3}}$ nicht definiert ist.

$x = 0, x = \frac{1}{2}, x = 4$

Schritt 2

Da $\frac{(2 x - 1) {(x + 4)}^{2} (x - 1) (3 x + 2)}{3 x (x - 4) {(2 x - 1)}^{3}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{(2 x - 1) {(x + 4)}^{2} (x - 1) (3 x + 2)}{3 x (x - 4) {(2 x - 1)}^{3}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 3

Da $\frac{(2 x - 1) {(x + 4)}^{2} (x - 1) (3 x + 2)}{3 x (x - 4) {(2 x - 1)}^{3}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ von links und $\frac{(2 x - 1) {(x + 4)}^{2} (x - 1) (3 x + 2)}{3 x (x - 4) {(2 x - 1)}^{3}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ von rechts, dann ist $x = \frac{1}{2}$ eine vertikale Asymptote.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Da $\frac{(2 x - 1) {(x + 4)}^{2} (x - 1) (3 x + 2)}{3 x (x - 4) {(2 x - 1)}^{3}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $4$ von links und $\frac{(2 x - 1) {(x + 4)}^{2} (x - 1) (3 x + 2)}{3 x (x - 4) {(2 x - 1)}^{3}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $4$ von rechts, dann ist $x = 4$ eine vertikale Asymptote.

$x = 4$

Schritt 5

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = 0, \frac{1}{2}, 4$

Schritt 6

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 7

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 5$

$m = 5$

Schritt 8

Da $n = m$ , ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ mit $a = 6$ und $b = 24$ .

$y = \frac{1}{4}$

Schritt 9

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 10

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0, \frac{1}{2}, 4$

Horizontale Asymptoten: $y = \frac{1}{4}$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 11