Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$ nicht definiert ist.

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 24 \cdot 1 = 24$ und deren Summe gleich $b = - 14$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $- 14$ aus $- 14 x$ heraus.

$\frac{24 x^{2} - 14 (x) + 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $- 14$ um als $- 2$ plus $- 12$

$\frac{24 x^{2} + (- 2 - 12) x + 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{24 x^{2} - 2 x - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(24 x^{2} - 2 x) - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (12 x - 1) - (12 x - 1)}{4 x - 3}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $12 x - 1$ .

$\frac{(12 x - 1) (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(12 x - 1) (2 x - 1)$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.4

Entferne die Klammern.

$\frac{12 x \cdot (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.5

Bewege $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.6

Bewege $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.7

Entferne die Klammern.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$\frac{24 x \cdot x + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{24 x^{1 + 1} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{24 x^{2} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.13

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x + 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.2.16

Subtrahiere $2 x$ von $- 12 x$ .

$\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Schritt 5.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 x$

$3$

$24 x^{2}$

$14 x$

$1$

Schritt 5.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $24 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

					$6 x$
	$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			+	$24 x^{2}$	-	$18 x$

Schritt 5.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $24 x^{2} - 18 x$

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$

Schritt 5.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$

Schritt 5.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Schritt 5.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Schritt 5.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	-	$3$

Schritt 5.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 3$

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$

Schritt 5.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$
							+	$4$

Schritt 5.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$6 x + 1 + \frac{4}{4 x - 3}$

Schritt 5.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 6 x + 1$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3}{4}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 6 x + 1$

Schritt 7