Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = \frac{8}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{8}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{8}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.1

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Schritt 3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$8 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$8 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Schritt 3.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$8 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Schritt 3.1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$8 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Schritt 3.1.6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$8 \frac{1}{1 + e^{lim_{x \to \infty} - \frac{0.5}{x}}}$

Schritt 3.1.7

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$8 \frac{1}{1 + e^{- lim_{x \to \infty} \frac{0.5}{x}}}$

Schritt 3.1.8

Ziehe den Term $0.5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$8 \frac{1}{1 + e^{- 0.5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$8 \frac{1}{1 + e^{- 0.5 \cdot 0}}$

Schritt 3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $0$ .

$8 \frac{1}{1 + e^{0}}$

Schritt 3.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 \frac{1}{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 4$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = 4$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7