Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} + 9 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 x^{2} + 9 x$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = 9$

$c = 0$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{9}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{2}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{9^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = 0 - \frac{81}{12}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $12$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$e = 0 - \frac{3 (27)}{12}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{27}{4}$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $\frac{27}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{27}{4}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{27}{4}$ ein.

$3 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{27}{4}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 3 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{27}{4}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 3$

$h = - \frac{3}{2}$

$k = - \frac{27}{4}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{3}{2}, - \frac{27}{4})$

Schritt 4