Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 2}{2 (2)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 2}{2 (2)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{- 2}{2 (2)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{4}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 (2)}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) - 1$

Schritt 3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) - 1$

Schritt 3.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 1 - 1$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} - 1$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - 1$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - 1$

Schritt 3.2.2.4

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1}{1}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 2}{2}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Schritt 5