Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - 5 x^{2} - 15 x$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 15}{2 (- 5)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 15}{2 (- 5)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $- 5$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 15$ heraus.

$x = - \frac{- 5 (3)}{2 (- 5)}$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $2 (- 5)$ heraus.

$x = - \frac{- 5 (3)}{- 5 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 15 (- \frac{3}{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 15 (- \frac{3}{2})$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 15 (- \frac{3}{2})$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 15 (- \frac{3}{2})$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 15 (- \frac{3}{2})$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 \frac{9}{2^{2}} - 15 (- \frac{3}{2})$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 (\frac{9}{4}) - 15 (- \frac{3}{2})$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere $- 5 (\frac{9}{4})$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{9}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 5 \cdot 9}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Schritt 3.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Schritt 3.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Schritt 3.2.1.8

Multipliziere $- 15 (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 15$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + 15 (\frac{3}{2})$

Schritt 3.2.1.8.2

Kombiniere $15$ und $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{15 \cdot 3}{2}$

Schritt 3.2.1.8.3

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45}{2}$

Schritt 3.2.2

Um $\frac{45}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{45}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45 \cdot 2}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45 + 45 \cdot 2}{4}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $45$ mit $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45 + 90}{4}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $- 45$ und $90$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{45}{4}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{4}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(- \frac{3}{2}, \frac{45}{4})$

Schritt 5