Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + 2 x = - x^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = - x^{2} - 2 x$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - 2 x}$

Schritt 3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x (- x) - 2 x}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x (- x) + x \cdot - 2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x \cdot - 2$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x (- x - 2)}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

Schritt 5

Setze den Radikanden in $\sqrt{x (- x - 2)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (- x - 2) \geq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$- x - 2 = 0$

Schritt 6.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3

Setze $- x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $- x - 2$ gleich $0$ .

$- x - 2 = 0$

Schritt 6.3.2

Löse $- x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 2$

Schritt 6.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Schritt 6.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.3.1

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$x = - 2$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (- x - 2) \geq 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2$

Schritt 6.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 6.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 6.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 4) (- (- 4) - 2) \geq 0$

Schritt 6.6.1.3

Die linke Seite $- 8$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 6.6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 1) (- (- 1) - 2) \geq 0$

Schritt 6.6.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 6.6.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) (- (2) - 2) \geq 0$

Schritt 6.6.3.3

Die linke Seite $- 8$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

Schritt 6.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 \leq x \leq 0$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 2, 0]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 \leq x \leq 0}$

Schritt 8

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 1, 1]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - 1 \leq y \leq 1}$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- 2, 0], {x | - 2 \leq x \leq 0}$

Wertebereich: $[- 1, 1], {y | - 1 \leq y \leq 1}$

Schritt 10