Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} = 81 - 9 x^{2}$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $9$ aus $81 - 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$y = \pm \sqrt{9 (9) - 9 x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{9 (9) + 9 (- x^{2})}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (9) + 9 (- x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{9 (9 - x^{2})}$

Schritt 2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{9 (3^{2} - x^{2})}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{9 (3 + x) (3 - x)}$

Schritt 2.4

Schreibe $9 (3 + x) (3 - x)$ als $3^{2} ((3 + x) (3 - x))$ um.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{3^{2} (3 + x) (3 - x)}$

Schritt 2.4.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \pm \sqrt{3^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Schritt 4

Setze den Radikanden in $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Schritt 5.2

Setze $3 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $3 + x$ gleich $0$ .

$3 + x = 0$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5.3

Setze $3 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze $3 - x$ gleich $0$ .

$3 - x = 0$

Schritt 5.3.2

Löse $3 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 5.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 5.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 5.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 5.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Schritt 5.6.1.3

Die linke Seite $- 27$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Schritt 5.6.2.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 5.6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Schritt 5.6.3.3

Die linke Seite $- 27$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 5.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 \leq x \leq 3$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 3, 3]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Schritt 7

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 9, 9]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - 9 \leq y \leq 9}$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- 3, 3], {x | - 3 \leq x \leq 3}$

Wertebereich: $[- 9, 9], {y | - 9 \leq y \leq 9}$

Schritt 9