Elementarmathematik Beispiele

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

Schritt 1

Addiere $\frac{x^{2}}{9}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 + \frac{x^{2}}{9}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 + \frac{x^{2}}{9})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 + \frac{x^{2}}{9})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 4 (1 + \frac{x^{2}}{9})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $4 (1 + \frac{x^{2}}{9})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{9}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{x^{2}}{9}$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = 4 + \frac{4 x^{2}}{9}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 + \frac{4 x^{2}}{9}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{4 + \frac{4 x^{2}}{9}}$ .

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Schritt 5.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{4 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 x^{2}}{9}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $4$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4 x^{2}}{9}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 9 + 4 x^{2}}{9}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 9 + 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (9) + 4 x^{2}}{9}}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (9) + 4 (x^{2})}{9}}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (9) + 4 (x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (9 + x^{2})}{9}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\frac{4 (9 + x^{2})}{9}$ als ${(\frac{2}{3})}^{2} (3^{2} + x^{2})$ um.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4 (9 + x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} (3^{2} + x^{2})}{9}}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} (3^{2} + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.5.3

Ordne den Bruch $\frac{2^{2} (3^{2} + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} (3^{2} + x^{2})}$

Schritt 5.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{2}{3} \sqrt{3^{2} + x^{2}}$

Schritt 5.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{2}{3} \sqrt{9 + x^{2}}$

Schritt 5.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{2 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{2 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{2 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{9 + x^{2}}}{3}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{9 + x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$9 + x^{2} \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq - 9$

Schritt 8.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq - 2, y \geq 2}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $(- \infty, - 2] \cup [2, \infty), {y | y \leq - 2, y \geq 2}$

Schritt 12