Elementarmathematik Beispiele

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{49} = 1$

Schritt 1

Addiere $\frac{x^{2}}{49}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{25} = 1 + \frac{x^{2}}{49}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $25$ .

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $25 (1 + \frac{x^{2}}{49})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 \frac{x^{2}}{49}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$y^{2} = 25 + 25 \frac{x^{2}}{49}$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $25$ und $\frac{x^{2}}{49}$ .

$y^{2} = 25 + \frac{25 x^{2}}{49}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 + \frac{25 x^{2}}{49}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{25 + \frac{25 x^{2}}{49}}$ .

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Schritt 5.1

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{49}{49}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \cdot \frac{49}{49} + \frac{25 x^{2}}{49}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $25$ und $\frac{49}{49}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 49}{49} + \frac{25 x^{2}}{49}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 49 + 25 x^{2}}{49}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $25$ aus $25 \cdot 49 + 25 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $25$ aus $25 \cdot 49$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (49) + 25 x^{2}}{49}}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (49) + 25 (x^{2})}{49}}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $25$ aus $25 (49) + 25 (x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (49 + x^{2})}{49}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\frac{25 (49 + x^{2})}{49}$ als ${(\frac{5}{7})}^{2} (7^{2} + x^{2})$ um.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25 (49 + x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} (7^{2} + x^{2})}{49}}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $7^{2}$ aus $49$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} (7^{2} + x^{2})}{7^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.5.3

Ordne den Bruch $\frac{5^{2} (7^{2} + x^{2})}{7^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{7})}^{2} (7^{2} + x^{2})}$

Schritt 5.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{5}{7} \sqrt{7^{2} + x^{2}}$

Schritt 5.7

Potenziere $7$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{5}{7} \sqrt{49 + x^{2}}$

Schritt 5.8

Kombiniere $\frac{5}{7}$ und $\sqrt{49 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

$y = - \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

$y = \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

$y = - \frac{5 \sqrt{49 + x^{2}}}{7}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{49 + x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$49 + x^{2} \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq - 49$

Schritt 8.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq - 5, y \geq 5}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $(- \infty, - 5] \cup [5, \infty), {y | y \leq - 5, y \geq 5}$

Schritt 12