Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{16}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{16}$ in den Zähler.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Schritt 3.2.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Schritt 3.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Schritt 3.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Schritt 5.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{4}$ als ${(\frac{x}{2})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Schritt 5.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Schritt 5.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Schritt 5.7

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Schritt 5.8

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Schritt 5.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Schritt 5.11

Mutltipliziere $\frac{4 + x}{2}$ mit $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Schritt 5.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Schritt 5.13

Schreibe $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ um.

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Schritt 5.13.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(4 + x) (4 - x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Schritt 5.13.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.13.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Schritt 5.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Schritt 5.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Schritt 8.2

Setze $4 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Setze $4 + x$ gleich $0$ .

$4 + x = 0$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 8.3

Setze $4 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $4 - x$ gleich $0$ .

$4 - x = 0$

Schritt 8.3.2

Löse $4 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 8.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 8.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 4, 4$

Schritt 8.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 8.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 8.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Schritt 8.6.1.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Schritt 8.6.2.3

Die linke Seite $16$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 8.6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Schritt 8.6.3.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 8.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 \leq x \leq 4$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 4, 4]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 2, 2]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - 2 \leq y \leq 2}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- 4, 4], {x | - 4 \leq x \leq 4}$

Wertebereich: $[- 2, 2], {y | - 2 \leq y \leq 2}$

Schritt 12