Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 1

Addiere $\frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

Schritt 2

Vereinfache $1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Kombiniere zu einem Bruch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16}{16} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

Schritt 2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + {(x - 1)}^{2}}{16}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + (x - 1) (x - 1)}{16}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}{16}$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{16}$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Schritt 2.2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Schritt 2.2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Schritt 2.2.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}{16}$

Schritt 2.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x + 1}{16}$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 2 x + 1}{16}$

Schritt 2.2.4

Addiere $16$ und $1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 (4)}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 \cdot 4}$

Schritt 4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

${(y + 5)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe $\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x^{2} - 2 x + 17$ heraus.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{4}}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y + 5 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y + 5 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ .

$y + 5 = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y + 5 = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Schritt 7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y + 5 = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Schritt 7.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Schritt 7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Schritt 8

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 2 x + 17 \geq 0$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 2 x + 17 = 0$

Schritt 9.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 9.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 17$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.3

Subtrahiere $68$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.3

Subtrahiere $68$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Schritt 9.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Schritt 9.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + 4 i$

Schritt 9.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.3

Subtrahiere $68$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Schritt 9.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Schritt 9.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - 4 i$

Schritt 9.7

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.7.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{2}$

Schritt 9.7.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 9.8

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $x^{2} - 2 x + 17$ ist immer größer als $0$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 10

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 11

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

Schritt 12

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty), {y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

Schritt 13