Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Schritt 2

Vereinfache $1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Schritt 2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9 - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{3^{2} - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x + 4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(3 + x + 4) (3 - (x + 4))}{9}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $3$ und $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - (x + 4))}{9}$

Schritt 2.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 1 \cdot 4)}{9}$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 4)}{9}$

Schritt 2.2.3.4

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- x - 1)}{9}$

Schritt 2.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1)}{9}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (1))}{9}$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x + 1))}{9}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- 1 (x + 1))}{9}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = - \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 16$ .

$- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}) = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache $- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16})$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}$ in den Zähler.

$- 16 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Schritt 4.1.1.1.2

Faktorisiere $16$ aus $- 16$ heraus.

$16 (- 1) \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Schritt 4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \cdot - 1 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Schritt 4.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Schritt 4.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Schritt 4.1.1.2.2

Mutltipliziere ${(y - 1)}^{2}$ mit $1$ .

${(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $- 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

${(y - 1)}^{2} = 16 \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $16$ und $\frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 ((x + 7) (x + 1))}{9}$

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$ als ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))$ um.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(2^{2})}^{2}$ aus $16 (x + 7) (x + 1)$ heraus.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{9}}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.1.3

Ordne den Bruch $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y - 1 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y - 1 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Schritt 6.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y - 1 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ .

$y - 1 = \pm \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 1 = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Schritt 7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Schritt 7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 1 = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Schritt 7.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Schritt 7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Schritt 8

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 9.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 9.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 9.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 7) (x + 1) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 7, - 1$

Schritt 9.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

Schritt 9.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 9.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 10) + 7) ((- 10) + 1) \geq 0$

Schritt 9.6.1.3

Die linke Seite $27$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 9.6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 4) + 7) ((- 4) + 1) \geq 0$

Schritt 9.6.2.3

Die linke Seite $- 9$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.6.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 7) ((0) + 1) \geq 0$

Schritt 9.6.3.3

Die linke Seite $7$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Wahr

$- 7 < x < - 1$ Falsch

$x > - 1$ Wahr

$x < - 7$ Wahr

$- 7 < x < - 1$ Falsch

$x > - 1$ Wahr

Schritt 9.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 7$ oder $x \geq - 1$

Schritt 10

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Schritt 11

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 12

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty), {x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 13