Elementarmathematik Beispiele

$\frac{6}{5 x^{2} + 26 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 5 = 25$ und deren Summe gleich $b = 26$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $26$ aus $26 x$ heraus.

$\frac{6}{5 x^{2} + 26 (x) + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $26$ um als $1$ plus $25$

$\frac{6}{5 x^{2} + (1 + 25) x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6}{5 x^{2} + 1 x + 25 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Schritt 1.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6}{5 x^{2} + x + 25 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{6}{(5 x^{2} + x) + 25 x + 5} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{6}{x (5 x + 1) + 5 (5 x + 1)} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 1$ .

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} - \frac{1}{x^{2} + x - 20}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} + x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$

Schritt 2

Um $\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$

Schritt 3

Um $- \frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 x + 1}{5 x + 1}$ .

$\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{5 x + 1}{5 x + 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{6}{(5 x + 1) (x + 5)}$ mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{6 (x - 4)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 5)} \cdot \frac{5 x + 1}{5 x + 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(x - 4) (x + 5)}$ mit $\frac{5 x + 1}{5 x + 1}$ .

$\frac{6 (x - 4)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)} - \frac{5 x + 1}{(x - 4) (x + 5) (5 x + 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 4) (x + 5) (5 x + 1)$ um.

$\frac{6 (x - 4)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)} - \frac{5 x + 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 (x - 4) - (5 x + 1)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x + 6 \cdot - 4 - (5 x + 1)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$\frac{6 x - 24 - (5 x + 1)}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x - 24 - (5 x) - 1 \cdot 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x - 24 - 5 x - 1 \cdot 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6 x - 24 - 5 x - 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Schritt 6.6

Subtrahiere $5 x$ von $6 x$ .

$\frac{x - 24 - 1}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$

Schritt 6.7

Subtrahiere $1$ von $- 24$ .

$\frac{x - 25}{(5 x + 1) (x + 5) (x - 4)}$