Elementarmathematik Beispiele

\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{13} = 1

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{13} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich

1

$1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich

1

$1$ ist.

\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{13} = 1

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{13} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable

a

$a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar,

b

$b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse,

h

$h$ das x-Offset vom Ursprung und

k

$k$ das y-Offset vom Ursprung.

a = \sqrt{13}

$a = \sqrt{13}$

b = 2 \sqrt{3}

$b = 2 \sqrt{3}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Schritt 4

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 5

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel ein.

\frac{\sqrt{{(\sqrt{13})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{13})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Schreibe

{\sqrt{13}}^{2}

${\sqrt{13}}^{2}$ als

13

$13$ um.

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Schritt 6.1.1.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$ als

13^{\frac{1}{2}}

$13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\frac{\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}

$\frac{\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}

$\frac{\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.1.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\frac{\sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}

$\frac{\sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 6.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{13^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{13 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Produktregel auf

$2 \sqrt{3}$ an.

$\frac{\sqrt{13 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.3

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{\sqrt{13 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.4

Schreibe

${\sqrt{3}}^{2}$ als

$3$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{3}$ als

$3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{13 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.4.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{1})}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3)}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.5

Multipliziere

$- (4 \cdot 3)$ .

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$3$ .

$\frac{\sqrt{13 - 1 \cdot 12}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$12$ .

$\frac{\sqrt{13 - 12}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.6

Subtrahiere

$12$ von

$13$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.1.7

Jede Wurzel von

$1$ ist

$1$ .

$\frac{1}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere

$\frac{1}{\sqrt{13}}$ mit

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{\sqrt{13}}$ mit

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 6.3.2

Potenziere

$\sqrt{13}$ mit

$1$ .

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Schritt 6.3.3

Potenziere

$\sqrt{13}$ mit

$1$ .

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Schritt 6.3.6

Schreibe

${\sqrt{13}}^{2}$ als

$13$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{13}$ als

$13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{13}}{13^{1}}$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{13}}{13}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{13}}{13}$

Dezimalform:

$0.27735009 \dots$

Schritt 8