Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$1 + 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Schritt 4.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 3 - 6 \cdot 1 + 6 (- 1) + 8$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$1 + 3 - 6 + 6 (- 1) + 8$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$1 + 3 - 6 - 6 + 8$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ und $3$ .

$4 - 6 - 6 + 8$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$- 2 - 6 + 8$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $6$ von $- 2$ .

$- 8 + 8$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 8$ und $8$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8}{x + 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$	$- 4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 2) x + 8$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) + x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

$(x + 1) x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 4$ .

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 2)$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Gruppiere die Terme um.

$- 3 x^{3} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3} + 6 x$ heraus.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $6 x$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 2 + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 2)$ heraus.

$- 3 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 9.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 3 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 9.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Schritt 9.5

Faktorisiere $u^{2} - 6 u + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 9.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (u - 4) (u - 2) = 0$

Schritt 9.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 9.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 9.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 9.9

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ heraus.

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Schritt 9.9.1

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $- 3 x (x^{2} - 2)$ heraus.

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 9.9.2

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ heraus.

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 9.9.3

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2))$ heraus.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 9.10

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Schritt 9.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Schritt 9.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 9.11

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 9.11.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 9.11.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 9.11.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 9.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.12.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 9.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Schritt 9.13

Stelle die Terme um.

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Schritt 9.14

Faktorisiere.

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Schritt 9.14.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.14.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 9.14.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Schritt 9.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 11

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 12

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 13

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Dezimalform:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 4, - 1$

Schritt 16