Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 14, \pm 28$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $2$ mit ${(2)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit ${(2)}^{3}$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{1 + 3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Schritt 4.1.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$2^{4} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Schritt 4.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 - 4 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 28$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$16 - 16 - 14 \cdot 2 + 28$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 14$ mit $2$ .

$16 - 16 - 28 + 28$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$0 - 28 + 28$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $28$ von $0$ .

$- 28 + 28$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 28$ und $28$ .

$0$

Schritt 5

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28}{x - 2}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 14)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$	$- 14$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 14)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 28)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(28)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 0 x - 14$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} - 14$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 14$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$(x - 2) (2 (x^{2}) - 14)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$(x - 2) (2 x^{2} + 2 \cdot - 7)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 7$ heraus.

$(x - 2) (2 (x^{2} - 7))$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 14 x + 28 = 0$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 14 x + 28 = 0$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 14 x$ heraus.

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 28 = 0$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $2$ aus $28$ heraus.

$2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ heraus.

$2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Schritt 8.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ heraus.

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Schritt 8.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14$ heraus.

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 14) = 0$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 ((x^{3} - 2 x^{2}) - 7 x + 14) = 0$

Schritt 8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (x^{2} (x - 2) - 7 (x - 2)) = 0$

Schritt 8.3

Faktorisiere.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 2$ .

$2 ((x - 2) (x^{2} - 7)) = 0$

Schritt 8.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

Schritt 10

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 11

Setze $x^{2} - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x^{2} - 7$ gleich $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 7$

Schritt 11.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{7}$

Schritt 11.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{7}$

Schritt 11.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{7}$

Schritt 11.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Dezimalform:

$x = 2, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

Schritt 14