Elementarmathematik Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 14 \\ c = & 17 \\ a = & 11 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(14)}^{2} + {(17)}^{2} - {(11)}^{2}}{2 (14) (17)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 17^{2} - 11^{2}}{2 (14) \cdot 17})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $17$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 289 - 11^{2}}{2 (14) \cdot 17})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $11$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 289 - 1 \cdot 121}{2 (14) \cdot 17})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $121$ .

$A = \arccos (\frac{196 + 289 - 121}{2 (14) \cdot 17})$

Schritt 4.1.5

Addiere $196$ und $289$ .

$A = \arccos (\frac{485 - 121}{2 (14) \cdot 17})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $121$ von $485$ .

$A = \arccos (\frac{364}{2 (14) \cdot 17})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$A = \arccos (\frac{364}{28 \cdot 17})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $28$ mit $17$ .

$A = \arccos (\frac{364}{476})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $364$ und $476$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $28$ aus $364$ heraus.

$A = \arccos (\frac{28 (13)}{476})$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $28$ aus $476$ heraus.

$A = \arccos (\frac{28 \cdot 13}{28 \cdot 17})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{28 \cdot 13}{28 \cdot 17})$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{13}{17})$

Schritt 4.4

Berechne $\arccos (\frac{13}{17})$ .

$A = 40.11916689$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(11)}^{2} + {(17)}^{2} - {(14)}^{2}}{2 (11) (17)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 17^{2} - 14^{2}}{2 (11) \cdot 17})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $17$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 289 - 14^{2}}{2 (11) \cdot 17})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $14$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 289 - 1 \cdot 196}{2 (11) \cdot 17})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $196$ .

$B = \arccos (\frac{121 + 289 - 196}{2 (11) \cdot 17})$

Schritt 8.1.5

Addiere $121$ und $289$ .

$B = \arccos (\frac{410 - 196}{2 (11) \cdot 17})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $196$ von $410$ .

$B = \arccos (\frac{214}{2 (11) \cdot 17})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$B = \arccos (\frac{214}{22 \cdot 17})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $22$ mit $17$ .

$B = \arccos (\frac{214}{374})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $214$ und $374$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $214$ heraus.

$B = \arccos (\frac{2 (107)}{374})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $374$ heraus.

$B = \arccos (\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 187})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 187})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{107}{187})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (\frac{107}{187})$ .

$B = 55.09674167$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$40.11916689 + C + 55.09674167 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $40.11916689$ und $55.09674167$ .

$C + 95.21590857 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $95.21590857$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 95.21590857$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $95.21590857$ von $180$ .

$C = 84.78409142$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 40.11916689$

$B = 55.09674167$

$C = 84.78409142$

$a = 11$

$b = 14$

$c = 17$