Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 16$ , $\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1

Löse in $\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 16$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{3} y = 16$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y$ .

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 16$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 16$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{y}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = 16 - \frac{y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{x}{2}) = 2 (16 - \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{x}{2}) = 2 (16 - \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (16 - \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 2 (16 - \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 2 (16 - \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache $2 (16 - \frac{y}{3})$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 2 \cdot 16 + 2 (- \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = 32 + 2 (- \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1.4.2.1.3

Multipliziere $2 (- \frac{y}{3})$ .

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Schritt 1.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 32 - 2 \frac{y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1.4.2.1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{y}{3}$ .

$x = 32 + \frac{- 2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 32 + \frac{- 2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 32 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 32 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 32 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 32 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 1.5

Stelle $32$ und $- \frac{2 y}{3}$ um.

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{2 y}{3} + 32$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$ durch $- \frac{2 y}{3} + 32$ .

$\frac{1}{6} \cdot (- \frac{2 y}{3} + 32) + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{1}{6} \cdot (- \frac{2 y}{3} + 32) + \frac{1}{4} y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{6} \cdot (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 y}{3}$ in den Zähler.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 2 y}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{- 2 y}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 (- y)}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 (- y)}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- y}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- y}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{- y}{3}$ .

$\frac{- y}{3 \cdot 3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{2 (3)} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{3} \cdot 16 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{3} \cdot 16 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $16$ .

$\frac{- y}{9} + \frac{16}{3} + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y}{9} + \frac{16}{3} + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.1.8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y$ .

$- \frac{y}{9} + \frac{16}{3} + \frac{y}{4} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$- \frac{y}{9} + \frac{16}{3} + \frac{y}{4} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.2

Um $- \frac{y}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{y}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y}{4} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.3

Um $\frac{y}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{y}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{y}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$- \frac{y \cdot 4}{36} + \frac{y}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{y}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{36} + \frac{y \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$- \frac{y \cdot 4}{36} + \frac{y \cdot 9}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$- \frac{y \cdot 4}{36} + \frac{y \cdot 9}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- y \cdot 4 + y \cdot 9}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.6.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \cdot 4 + y \cdot 9$ heraus.

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Schritt 2.2.1.6.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \cdot 4$ heraus.

$\frac{y (- 1 \cdot 4) + y \cdot 9}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.6.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 9$ heraus.

$\frac{y (- 1 \cdot 4) + y (9)}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.6.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 \cdot 4) + y (9)$ heraus.

$\frac{y (- 1 \cdot 4 + 9)}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{y (- 1 \cdot 4 + 9)}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{y (- 4 + 9)}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.6.1.3

Addiere $- 4$ und $9$ .

$\frac{y \cdot 5}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{y \cdot 5}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 2.2.1.6.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3

Löse in $\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $\frac{16}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 y}{36} = 9 - \frac{16}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.1.2

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 y}{36} = 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 y}{36} = \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 y}{36} = \frac{9 \cdot 3 - 16}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{5 y}{36} = \frac{27 - 16}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere $16$ von $27$ .

$\frac{5 y}{36} = \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} = \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} = \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{36}{5}$ .

$\frac{36}{5} \cdot \frac{5 y}{36} = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{36}{5} \cdot \frac{5 y}{36}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36}{5} \cdot \frac{5 y}{36} = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$\frac{1}{5} \cdot (5 (y)) = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $\frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$y = \frac{3 (12)}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \cdot 12}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{12}{5} \cdot 11$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{12}{5} \cdot 11$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.3.2.1.2

Kombiniere $\frac{12}{5}$ und $11$ .

$y = \frac{12 \cdot 11}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $11$ .

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{132}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \frac{2 y}{3} + 32$ durch $\frac{132}{5}$ .

$x = - \frac{2 (\frac{132}{5})}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{2 (\frac{132}{5})}{3} + 32$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{132}{5}$ .

$x = - \frac{\frac{2 \cdot 132}{5}}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $132$ .

$x = - \frac{\frac{264}{5}}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 4.2.1.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - (\frac{264}{5} \cdot \frac{1}{3}) + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $264$ heraus.

$x = - (\frac{3 (88)}{5} \cdot \frac{1}{3}) + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 4.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - (\frac{3 \cdot 88}{5} \cdot \frac{1}{3}) + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 4.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{88}{5} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{88}{5} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{88}{5} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 4.2.1.2

Um $32$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x = - \frac{88}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $32$ und $\frac{5}{5}$ .

$x = - \frac{88}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 88 + 32 \cdot 5}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $32$ mit $5$ .

$x = \frac{- 88 + 160}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $- 88$ und $160$ .

$x = \frac{72}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

$x = \frac{72}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

$x = \frac{72}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

$x = \frac{72}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

$x = \frac{72}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{72}{5}, \frac{132}{5})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{72}{5}, \frac{132}{5})$

Gleichungsform:

$x = \frac{72}{5}, y = \frac{132}{5}$

Schritt 7