Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{4} - x^{2} + 4}{x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1

Dividiere unter Verwendung schriftlicher Polynomdivision.

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - x^{3} + 0 + 0$

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Schritt 1.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2} + 0 + 0$

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$
															+	$4$

Schritt 1.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x + 1 + \frac{4}{x^{3} - x^{2}}$

Schritt 2

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{4}{x^{2} x - x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{4}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{4}{x^{2} (x - 1)}$

Schritt 2.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.5.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.1.2

Dividiere $A (x - 1)$ durch $1$ .

$4 = A (x - 1) + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A$ .

$4 = A x - 1 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.4

Schreibe $- 1 A$ als $- A$ um.

$4 = A x - A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.6.5.1

Faktorisiere $x$ aus $B (x^{2} (x - 1))$ heraus.

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.5.2.5

Dividiere $B (x (x - 1))$ durch $1$ .

$4 = A x - A + B (x (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$4 = A x - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.7

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 = A x - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 = A x - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.9

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$4 = A x - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.10

Wende das Distributivgesetz an.

$4 = A x - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.6.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Schritt 2.6.12.2

Dividiere $(C) (x^{2})$ durch $1$ .

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + (C) (x^{2})$

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + C x^{2}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Bewege $B$ .

$4 = A x - A + B x^{2} - x B + C x^{2}$

Schritt 2.7.2

Bewege $- A$ .

$4 = A x + B x^{2} - x B + C x^{2} - A$

Schritt 2.7.3

Bewege $- x B$ .

$4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - x B - A$

Schritt 2.7.4

Bewege $A x$ .

$4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - x B - A$

Schritt 3

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 3.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B + C$

Schritt 3.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A - 1 B$

Schritt 3.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$4 = - 1 A$

Schritt 3.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

Schritt 4

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.1

Löse in $4 = - 1 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 4.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 A = 4$ um.

$- 1 A = 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Schritt 4.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 1 A = 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 A = 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{A}{1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Schritt 4.1.2.2.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.2.3.1

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Schritt 4.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A - 1 B$ durch $- 4$ .

$0 = (- 4) - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Schritt 4.3

Löse in $0 = - 4 - B$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 - B = 0$ um.

$- 4 - B = 0$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Schritt 4.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- B = 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Schritt 4.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- B = 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- B = 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Schritt 4.3.3.2.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Schritt 4.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.3.1

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Schritt 4.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Ersetze alle $B$ in $0 = B + C$ durch $- 4$ .

$0 = (- 4) + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

Schritt 4.5

Löse in $0 = - 4 + C$ nach $C$ auf.

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Schritt 4.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 + C = 0$ um.

$- 4 + C = 0$

$B = - 4$

$A = - 4$

Schritt 4.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

Schritt 4.6

Löse das Gleichungssystem.

$C = 4 B = - 4 A = - 4$

Schritt 4.7

Liste alle Lösungen auf.

$C = 4, B = - 4, A = - 4$

Schritt 5

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $x + 1 + \frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$x + 1 - \frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{x} + \frac{4}{x - 1}$