Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{4} + 3 x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} + 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} x^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3$ heraus.

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} (x^{2} + 3)}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x^{2} (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 3$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.5.2

Dividiere $x^{4} + x^{2} - 9 x - 12$ durch $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.1.2

Dividiere $A (x^{2} + 3)$ durch $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A (x^{2} + 3) + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $A$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.6.4.1

Faktorisiere $x$ aus $B (x^{2} (x^{2} + 3))$ heraus.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{B (x (x^{2} + 3))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.4.2.5

Dividiere $B (x (x^{2} + 3))$ durch $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x (x^{2} + 3)) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.6.6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{1 + 2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{3} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{3} + 3 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.8

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + B (3 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 3$ .

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Schritt 1.6.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Schritt 1.6.10.2

Dividiere $(C x + D) (x^{2})$ durch $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + (C x + D) (x^{2})$

Schritt 1.6.11

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Schritt 1.6.12

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.12.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Schritt 1.6.12.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.6.12.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Schritt 1.6.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Schritt 1.6.12.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x^{3} + D x^{2}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.1

Bewege $B$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 x B + C x^{3} + D x^{2}$

Schritt 1.7.2

Bewege $3 A$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + B x^{3} + 3 x B + C x^{3} + D x^{2} + 3 A$

Schritt 1.7.3

Bewege $3 x B$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + 3 x B + 3 A$

Schritt 1.7.4

Bewege $A x^{2}$ .

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + 3 x B + 3 A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B + C$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + D$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 9 = 3 B$

Schritt 2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 12 = 3 A$

Schritt 2.5

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 9 = 3 B$

$- 12 = 3 A$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 9 = 3 B$

$- 12 = 3 A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in $- 9 = 3 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $3 B = - 9$ um.

$3 B = - 9$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 B = - 9$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 B = - 9$ durch $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $3$ .

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $B$ in $0 = B + C$ durch $- 3$ .

$0 = (- 3) + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

Schritt 3.2.3

Schreibe die Gleichung als $3 A = - 12$ um.

$3 A = - 12$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $3 A = - 12$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 A = - 12$ durch $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.3.1

Dividiere $- 12$ durch $3$ .

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 + C = 0$ um.

$- 3 + C = 0$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Schritt 3.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = A + D$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $A$ in $1 = A + D$ durch $- 4$ .

$1 = (- 4) + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Schritt 3.3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.1

Entferne die Klammern.

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Schritt 3.4

Löse in $1 = - 4 + D$ nach $D$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 + D = 1$ um.

$- 4 + D = 1$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Schritt 3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $D$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$D = 1 + 4$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $1$ und $4$ .

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

Schritt 3.5

Löse das Gleichungssystem.

$D = 5 C = 3 A = - 4 B = - 3$

Schritt 3.6

Liste alle Lösungen auf.

$D = 5, C = 3, A = - 4, B = - 3$

Schritt 4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ , $C$ und $D$ ermittelt wurden.

$- \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} + 3}$

Schritt 5

Mutltipliziere $3$ mit $x$ .

$\frac{- 4}{x^{2}} + \frac{- 3}{x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} + 3}$