Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Schritt 1

Dividiere unter Verwendung schriftlicher Polynomdivision.

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Schritt 1.1

Multipliziere $x (x^{2} + 1)$ aus.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Schritt 1.1.2

Stelle $x$ und $1$ um.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Schritt 1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

Schritt 1.1.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Schritt 1.2

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 1.3

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 1.4

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Schritt 1.5

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Schritt 1.6

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

Schritt 1.7

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

Schritt 1.8

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Schritt 2

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Schritt 2.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.5.2

Dividiere $2 x^{2} + 1$ durch $1$ .

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.6.1.2

Dividiere $A (x^{2} + 1)$ durch $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 2.6.4.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Schritt 2.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Schritt 2.6.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.6.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Schritt 2.6.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Schritt 2.7

Bewege $A$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Schritt 3

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 3.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = A + B$

Schritt 3.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 3.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 3.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Schritt 4

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

Schritt 4.2

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 4.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Ersetze alle $A$ in $2 = A + B$ durch $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Entferne die Klammern.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 4.4

Löse in $2 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 2$ um.

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 4.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 4.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Schritt 4.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Schritt 5

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Schritt 6.2

Addiere $(1) \cdot x$ und $0$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$