Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.4.2

Dividiere $x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5$ durch $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.5.1.2

Dividiere $A x + B$ durch $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ und $x^{2} - 2 x + 3$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x + 3$ aus $(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ heraus.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)}{1}$

Schritt 1.5.2.2.4

Dividiere $(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ durch $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + (C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$

Schritt 1.5.3

Multipliziere $(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Schritt 1.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.4.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Schritt 1.5.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Schritt 1.5.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Schritt 1.5.4.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Schritt 1.5.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x \cdot x + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Schritt 1.5.4.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.4.3.1

Bewege $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C (x \cdot x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Schritt 1.5.4.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Schritt 1.5.4.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $C x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 \cdot (C x) + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Schritt 1.5.4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + D \cdot 3$

Schritt 1.5.4.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $D$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + 3 D$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.6.1

Bewege $B$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + B + 3 D$

Schritt 1.6.2

Bewege $3 C x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

Schritt 1.6.3

Bewege $A x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + A x + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = C$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 4 = - 2 C + D$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$9 = A + 3 C - 2 D$

Schritt 2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 2.5

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 1$ um.

$C = 1$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $C$ in $- 4 = - 2 C + D$ durch $1$ .

$- 4 = - 2 \cdot 1 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $C$ in $9 = A + 3 C - 2 D$ durch $1$ .

$9 = A + 3 (1) - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3.3

Löse in $- 4 = - 2 + D$ nach $D$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 + D = - 4$ um.

$- 2 + D = - 4$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $D$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$D = - 4 + 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 4$ und $2$ .

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $D$ durch $- 2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $D$ in $9 = A + 3 - 2 D$ durch $- 2$ .

$9 = A + 3 - 2 \cdot - 2$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $A + 3 - 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$9 = A + 3 + 4$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3.4.2.1.2

Addiere $3$ und $4$ .

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $D$ in $- 5 = B + 3 D$ durch $- 2$ .

$- 5 = B + 3 (- 2)$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Schritt 3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Schritt 3.5

Löse in $- 5 = B - 6$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $B - 6 = - 5$ um.

$B - 6 = - 5$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 5 + 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $- 5$ und $6$ .

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $A + 7 = 9$ um.

$A + 7 = 9$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Schritt 3.6.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 9 - 7$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Schritt 3.6.2.2

Subtrahiere $7$ von $9$ .

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$A = 2, B = 1, D = - 2, C = 1$

Schritt 4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ , $C$ und $D$ ermittelt wurden.

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{1 x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $x$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(1) \cdot x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$