Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 9 x + 14}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2} - 9 x + 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $14$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 7, - 2$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x}{(x - 7) (x - 2)}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x - 7}$

Schritt 1.3

$\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 2}$

Schritt 1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x - 7) (x - 2)$ .

$\frac{x (x - 7) (x - 2)}{(x - 7) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 2)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 7) (x - 2)}{(x - 7) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 2)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 7) (x - 2)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 7) (x - 2)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{(A) (x - 7) (x - 2)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{A (x - 7) (x - 2)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 1.7.1.2

Dividiere $(A) (x - 2)$ durch $1$ .

$x = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 7) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 7) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 1.7.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $A$ .

$x = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 7) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 7) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 1.7.4.2

Dividiere $(B) (x - 7)$ durch $1$ .

$x = A x - 2 A + (B) (x - 7)$

Schritt 1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x - 2 A + B x + B \cdot - 7$

Schritt 1.7.6

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $B$ .

$x = A x - 2 A + B x - 7 B$

Schritt 1.8

Bewege $- 2 A$ .

$x = A x + B x - 2 A - 7 B$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 2 A - 7 B$

Schritt 2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = A + B$

$0 = - 2 A - 7 B$

$1 = A + B$

$0 = - 2 A - 7 B$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Löse in $1 = A + B$ nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 1$ um.

$A + B = 1$

$0 = - 2 A - 7 B$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 1 - B$

$0 = - 2 A - 7 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 2 A - 7 B$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1 - B$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = - 2 A - 7 B$ durch $1 - B$ .

$0 = - 2 (1 - B) - 7 B$

$A = 1 - B$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 2 (1 - B) - 7 B$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) - 7 B$

$A = 1 - B$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 = - 2 - 2 (- B) - 7 B$

$A = 1 - B$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$0 = - 2 + 2 B - 7 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 2 + 2 B - 7 B$

$A = 1 - B$

Schritt 3.2.2.1.2

Subtrahiere $7 B$ von $2 B$ .

$0 = - 2 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 2 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 2 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 2 - 5 B$

$A = 1 - B$

Schritt 3.3

Löse in $0 = - 2 - 5 B$ nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 - 5 B = 0$ um.

$- 2 - 5 B = 0$

$A = 1 - B$

Schritt 3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 B = 2$

$A = 1 - B$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 5 B = 2$ durch $- 5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 B = 2$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{2}{- 5}$

$A = 1 - B$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{2}{- 5}$

$A = 1 - B$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{2}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 5}$

$A = 1 - B$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = - \frac{2}{5}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{2}{5}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{2}{5}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{2}{5}$

$A = 1 - B$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- \frac{2}{5}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = 1 - B$ durch $- \frac{2}{5}$ .

$A = 1 - (- \frac{2}{5})$

$B = - \frac{2}{5}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $1 - (- \frac{2}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere $- (- \frac{2}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{2}{5})$

$B = - \frac{2}{5}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $1$ .

$A = 1 + \frac{2}{5}$

$B = - \frac{2}{5}$

$A = 1 + \frac{2}{5}$

$B = - \frac{2}{5}$

Schritt 3.4.2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$

$B = - \frac{2}{5}$

Schritt 3.4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{5 + 2}{5}$

$B = - \frac{2}{5}$

Schritt 3.4.2.1.4

Addiere $5$ und $2$ .

$A = \frac{7}{5}$

$B = - \frac{2}{5}$

$A = \frac{7}{5}$

$B = - \frac{2}{5}$

$A = \frac{7}{5}$

$B = - \frac{2}{5}$

$A = \frac{7}{5}$

$B = - \frac{2}{5}$

Schritt 3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{7}{5}, B = - \frac{2}{5}$

Schritt 4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 2}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{7}{5}}{x - 7} + \frac{- \frac{2}{5}}{x - 2}$