Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 49$ , $y = x - 3$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $x - 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 49$ durch $x - 3$ .

$x^{2} + {(x - 3)}^{2} = 49$

$y = x - 3$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$x^{2} + (x - 3) (x - 3) = 49$

$y = x - 3$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x (x - 3) - 3 (x - 3) = 49$

$y = x - 3$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) = 49$

$y = x - 3$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 = 49$

$y = x - 3$

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 = 49$

$y = x - 3$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 = 49$

$y = x - 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 = 49$

$y = x - 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$x^{2} + x^{2} - 3 x - 3 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$x^{2} + x^{2} - 3 x - 3 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$x^{2} + x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$x^{2} + x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$x^{2} + x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$2 x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$2 x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

$2 x^{2} - 6 x + 9 = 49$

$y = x - 3$

Schritt 2

Löse in $2 x^{2} - 6 x + 9 = 49$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 6 x + 9 - 49 = 0$

$y = x - 3$

Schritt 2.2

Subtrahiere $49$ von $9$ .

$2 x^{2} - 6 x - 40 = 0$

$y = x - 3$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 6 x - 40$ heraus.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) - 6 x - 40 = 0$

$y = x - 3$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) - 40 = 0$

$y = x - 3$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 40$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 \cdot - 20 = 0$

$y = x - 3$

Schritt 2.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (- 3 x)$ heraus.

$2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot - 20 = 0$

$y = x - 3$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot - 20$ heraus.

$2 (x^{2} - 3 x - 20) = 0$

$y = x - 3$

$2 (x^{2} - 3 x - 20) = 0$

$y = x - 3$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - 3 x - 20) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} - 3 x - 20) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3 x - 20)}{2} = \frac{0}{2}$

$y = x - 3$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} - 3 x - 20)}{2} = \frac{0}{2}$

$y = x - 3$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 3 x - 20$ durch $1$ .

$x^{2} - 3 x - 20 = \frac{0}{2}$

$y = x - 3$

$x^{2} - 3 x - 20 = \frac{0}{2}$

$y = x - 3$

$x^{2} - 3 x - 20 = \frac{0}{2}$

$y = x - 3$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{2} - 3 x - 20 = 0$

$y = x - 3$

$x^{2} - 3 x - 20 = 0$

$y = x - 3$

$x^{2} - 3 x - 20 = 0$

$y = x - 3$

Schritt 2.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = x - 3$

Schritt 2.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = - 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 20$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.7.1.3

Addiere $9$ und $80$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 20$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.8.1.3

Addiere $9$ und $80$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Schritt 2.8.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Schritt 2.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 20$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 80}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.9.1.3

Addiere $9$ und $80$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot 1}$

$y = x - 3$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Schritt 2.9.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Schritt 2.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}, \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}, \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = x - 3$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{3 + \sqrt{89}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = x - 3$ durch $\frac{3 + \sqrt{89}}{2}$ .

$y = (\frac{3 + \sqrt{89}}{2}) - 3$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $(\frac{3 + \sqrt{89}}{2}) - 3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{89}}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{89}}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 + \sqrt{89} - 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{89} - 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{89} - 6}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$y = \frac{- 3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = \frac{- 3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.2.1.4.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{89}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{89})}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Schritt 3.2.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{89})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (3 - \sqrt{89})}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Schritt 3.2.1.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{3 - \sqrt{89}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = x - 3$ durch $\frac{3 - \sqrt{89}}{2}$ .

$y = (\frac{3 - \sqrt{89}}{2}) - 3$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $(\frac{3 - \sqrt{89}}{2}) - 3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{89}}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{89}}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 - \sqrt{89} - 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{89} - 3 \cdot 2}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{89} - 6}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = \frac{- 3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.2.1.4.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Schritt 4.2.1.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{89}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{89})}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Schritt 4.2.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (\sqrt{89})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (3 + \sqrt{89})}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Schritt 4.2.1.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{3 + \sqrt{89}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{89}}{2})$

$(\frac{3 - \sqrt{89}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{89}}{2})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{3 + \sqrt{89}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}), (\frac{3 - \sqrt{89}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{89}}{2})$

Gleichungsform:

$x = \frac{3 + \sqrt{89}}{2}, y = - \frac{3 - \sqrt{89}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{89}}{2}, y = - \frac{3 + \sqrt{89}}{2}$

Schritt 7