Elementarmathematik Beispiele

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 8 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 120 ° \\ C = & 45 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Schritt 1

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $b$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (120 °)}{b} = \frac{\sin (45 °)}{8}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $b$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sin (60)}{b} = \frac{\sin (45 °)}{8}$

Schritt 3.1.1.2

Der genau Wert von $\sin (60)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (45 °)}{8}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (45 °)}{8}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (45 °)}{8}$

Schritt 3.1.4

Der genau Wert von $\sin (45 °)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{8}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sqrt{2}}{16}$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 b, 16$

Schritt 3.2.2

Since $2 b, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 16$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Schritt 3.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.2.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 3.2.5

Die Primfaktoren von $16$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 3.2.5.1

$16$ hat Faktoren von $2$ und $8$ .

$2 \cdot 8$

Schritt 3.2.5.2

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Schritt 3.2.5.3

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 3.2.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 \cdot 2$

Schritt 3.2.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16$

Schritt 3.2.7

Der Teiler von $b^{1}$ ist $b$ selbst.

$b^{1} = b$

$b$ occurs $1$ time.

Schritt 3.2.8

Das kgV von $b^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$b$

Schritt 3.2.9

Das kgV von $2 b, 16$ ist der numerische Teil $16$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$16 b$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sqrt{2}}{16}$ mit $16 b$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sqrt{2}}{16}$ mit $16 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (16 b) = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$2 (8) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Schritt 3.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 b$ heraus.

$2 (8) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Schritt 3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 8 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Schritt 3.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$8 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $8$ und $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Schritt 3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \sqrt{3}}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Schritt 3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$8 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 b$ heraus.

$8 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 (b))$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Schritt 3.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \sqrt{3} = \sqrt{2} b$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2} b = 8 \sqrt{3}$ um.

$\sqrt{2} b = 8 \sqrt{3}$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} b = 8 \sqrt{3}$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} b = 8 \sqrt{3}$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.4.2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 3.4.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{3} \sqrt{2}$ heraus.

$b = \frac{2 (4 \sqrt{3} \sqrt{2})}{2}$

Schritt 3.4.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$b = \frac{2 (4 \sqrt{3} \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 3.4.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b = \frac{2 (4 \sqrt{3} \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b = \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{2}}{1}$

Schritt 3.4.2.3.3.2.4

Dividiere $4 \sqrt{3} \sqrt{2}$ durch $1$ .

$b = 4 \sqrt{3} \sqrt{2}$

Schritt 3.4.2.3.4

Multipliziere $4 \sqrt{3} \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.4.2.3.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$b = 4 \sqrt{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$b = 4 \sqrt{6}$

Schritt 4

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$A + 45 ° + 120 ° = 180$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $45 °$ und $120 °$ .

$A + 165 = 180$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $165$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 180 - 165$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $165$ von $180$ .

$A = 15$

Schritt 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $a$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (15)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 8.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Der genau Wert von $\sin (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sin (45 - 30)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.2

Separiere die Negation.

$\frac{\sin (45 - (30))}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.6

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.1.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 8.1.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.1.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sin (60)}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.4.2

Der genau Wert von $\sin (60)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{4 \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{1}{4 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Schritt 8.1.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 8.1.7.2

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 8.1.7.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}$

Schritt 8.1.7.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}$

Schritt 8.1.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.1.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 8.1.7.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 8.1.7.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.1.7.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.1.7.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.1.7.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.7.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.1.7.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 6^{1}}$

Schritt 8.1.7.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 6}$

Schritt 8.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{24}$

Schritt 8.1.9

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{24}$ .

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Schritt 8.1.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{24}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{6}}{2 \cdot 24}$

Schritt 8.1.9.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3 \cdot 6}}{2 \cdot 24}$

Schritt 8.1.9.3

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{18}}{2 \cdot 24}$

Schritt 8.1.9.4

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{18}}{48}$

Schritt 8.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.10.1

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.1.10.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{9 (2)}}{48}$

Schritt 8.1.10.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{48}$

Schritt 8.1.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{3 \sqrt{2}}{48}$

Schritt 8.1.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $48$ .

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Schritt 8.1.11.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{3 (\sqrt{2})}{48}$

Schritt 8.1.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $48$ heraus.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{3 \sqrt{2}}{3 \cdot 16}$

Schritt 8.1.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{3 \sqrt{2}}{3 \cdot 16}$

Schritt 8.1.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{2}}{16}$

Schritt 8.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 a, 16$

Schritt 8.2.2

Since $4 a, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 16$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

Schritt 8.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 8.2.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 8.2.5

Die Primfaktoren von $16$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 8.2.5.1

$16$ hat Faktoren von $2$ und $8$ .

$2 \cdot 8$

Schritt 8.2.5.2

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Schritt 8.2.5.3

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 8.2.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 8.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 8.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 \cdot 2$

Schritt 8.2.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16$

Schritt 8.2.7

Der Teiler von $a^{1}$ ist $a$ selbst.

$a^{1} = a$

$a$ occurs $1$ time.

Schritt 8.2.8

Das kgV von $a^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$a$

Schritt 8.2.9

Das kgV von $4 a, 16$ ist der numerische Teil $16$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$16 a$

Schritt 8.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{2}}{16}$ mit $16 a$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{2}}{16}$ mit $16 a$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} (16 a) = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 (4) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 a$ heraus.

$4 (4) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (a)} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a}$ .

$\frac{4 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \sqrt{6} + 4 (- \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 8.3.3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 a$ heraus.

$4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 (a))$

Schritt 8.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Schritt 8.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2} = \sqrt{2} a$

Schritt 8.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 8.4.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2} a = 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2}$ um.

$\sqrt{2} a = 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2}$

Schritt 8.4.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} a = 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2}$ durch $\sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{2} a = 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2}$ durch $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 8.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.2.3.1.1

Vereinige $\sqrt{6}$ und $\sqrt{2}$ zu einer einzigen Wurzel.

$a = 4 \sqrt{\frac{6}{2}} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.3.1.2

Dividiere $6$ durch $2$ .

$a = 4 \sqrt{3} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 8.4.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 4 \sqrt{3} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4.2.3.1.3.2

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$a = 4 \sqrt{3} - 4$

Schritt 9

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 15$

$B = 120 °$

$C = 45 °$

$a = 4 \sqrt{3} - 4$

$b = 4 \sqrt{6}$

$c = 8$