Elementarmathematik Beispiele

$\frac{10 x + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x + 20$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{10 (x) + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$\frac{10 x + 10 \cdot 2}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $10$ aus $10 x + 10 \cdot 2$ heraus.

$\frac{10 (x + 2)}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{10 (x + 2)}{(x^{3} - 2 x^{2}) - 4 x + 8}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{10 (x + 2)}{x^{2} (x - 2) - 4 (x - 2)}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 1.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2^{2})}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 1.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.1.6.1

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} (x - 2) (x + 2)}$

Schritt 1.1.6.2

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} (x + 2)}$

Schritt 1.1.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1 + 1} (x + 2)}$

Schritt 1.1.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Ausdruck $\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 1.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Schritt 1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 1.5.2

Dividiere $10$ durch $1$ .

$10 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 1.6.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$10 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 2)}^{2}$ und $x - 2$ .

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Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(B) {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Schritt 1.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Schritt 1.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$10 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Schritt 1.6.2.2.4

Dividiere $B (x - 2)$ durch $1$ .

$10 = A + B (x - 2)$

Schritt 1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 = A + B x + B \cdot - 2$

Schritt 1.6.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $B$ .

$10 = A + B x - 2 B$

Schritt 1.7

Stelle $A$ und $B x$ um.

$10 = B x + A - 2 B$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$10 = A - 2 B$

Schritt 2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $B = 0$ um.

$B = 0$

$10 = A - 2 B$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $B$ in $10 = A - 2 B$ durch $0$ .

$10 = A - 2 \cdot 0$

$B = 0$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $A - 2 \cdot 0$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$10 = A + 0$

$B = 0$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere $A$ und $0$ .

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

Schritt 3.3

Schreibe die Gleichung als $A = 10$ um.

$A = 10$

$B = 0$

Schritt 3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = 10 B = 0$

Schritt 3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = 10, B = 0$

Schritt 4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{0}{x - 2}$