Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{x^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{D}{x + 2}$

Schritt 1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x^{2} {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{1 (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x^{2} {(x + 2)}^{2}} = \frac{A (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 ({(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{A (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 2)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{A (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.1.2

Dividiere $A ({(x + 2)}^{2})$ durch $1$ .

$1 = A ({(x + 2)}^{2}) + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.2

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$1 = A ((x + 2) (x + 2)) + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.3

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 = A (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.4.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 = A (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 = A (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.4.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$1 = A (x^{2} + 4 x + 4) + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + A (4 x) + A \cdot 4 + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A x^{2} + 4 A x + A \cdot 4 + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 \cdot A + \frac{B (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.7.1

Faktorisiere $x$ aus $B (x^{2} {(x + 2)}^{2})$ heraus.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + \frac{x (B (x {(x + 2)}^{2}))}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + \frac{x (B (x {(x + 2)}^{2}))}{x} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + \frac{x (B (x {(x + 2)}^{2}))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + \frac{x (B (x {(x + 2)}^{2}))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + \frac{B (x {(x + 2)}^{2})}{1} + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.7.2.5

Dividiere $B (x {(x + 2)}^{2})$ durch $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x {(x + 2)}^{2}) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.8

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x ((x + 2) (x + 2))) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.9

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x (x (x + 2) + 2 (x + 2))) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.10.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.10.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.10.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.10.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x (x^{2} + 4 x + 4)) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.11

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 4) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.12.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.12.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.12.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 4) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x^{1 + 2} + x (4 x) + x \cdot 4) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.12.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x^{3} + x (4 x) + x \cdot 4) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.12.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x^{3} + 4 x \cdot x + x \cdot 4) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.12.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x^{3} + 4 x \cdot x + 4 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.13

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.13.1

Bewege $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x^{3} + 4 (x \cdot x) + 4 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.13.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B (x^{3} + 4 x^{2} + 4 x) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.14

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + B (4 x^{2}) + B (4 x) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.15.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + B (4 x) + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.15.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + \frac{(C) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 2)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + \frac{C (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.16.2

Dividiere $(C) (x^{2})$ durch $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + (C) (x^{2}) + \frac{(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.6.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 2)}^{2}$ und $x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.17.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $(D) (x^{2} {(x + 2)}^{2})$ heraus.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + \frac{(x + 2) (D (x^{2} (x + 2)))}{x + 2}$

Schritt 1.6.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.17.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + \frac{(x + 2) (D (x^{2} (x + 2)))}{(x + 2) \cdot 1}$

Schritt 1.6.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + \frac{(x + 2) (D (x^{2} (x + 2)))}{(x + 2) \cdot 1}$

Schritt 1.6.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + \frac{D (x^{2} (x + 2))}{1}$

Schritt 1.6.17.2.4

Dividiere $D (x^{2} (x + 2))$ durch $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + D (x^{2} (x + 2))$

Schritt 1.6.18

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + D (x^{2} x + x^{2} \cdot 2)$

Schritt 1.6.19

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.19.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.19.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + D (x^{2} x + x^{2} \cdot 2)$

Schritt 1.6.19.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + D (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2)$

Schritt 1.6.19.2

Addiere $2$ und $1$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + D (x^{3} + x^{2} \cdot 2)$

Schritt 1.6.20

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + D (x^{3} + 2 \cdot x^{2})$

Schritt 1.6.21

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + D x^{3} + D (2 x^{2})$

Schritt 1.6.22

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A x^{2} + 4 A x + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + D x^{3} + 2 D x^{2}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Bewege $A$ .

$1 = A x^{2} + 4 x A + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + D x^{3} + 2 D x^{2}$

Schritt 1.7.2

Stelle $B$ und $x^{3}$ um.

$1 = A x^{2} + 4 x A + 4 A + B x^{3} + 4 B x^{2} + 4 B x + C x^{2} + D x^{3} + 2 D x^{2}$

Schritt 1.7.3

Bewege $B$ .

$1 = A x^{2} + 4 x A + 4 A + B x^{3} + 4 x^{2} B + 4 B x + C x^{2} + D x^{3} + 2 D x^{2}$

Schritt 1.7.4

Bewege $B$ .

$1 = A x^{2} + 4 x A + 4 A + B x^{3} + 4 x^{2} B + 4 x B + C x^{2} + D x^{3} + 2 D x^{2}$

Schritt 1.7.5

Bewege $4 A$ .

$1 = A x^{2} + 4 x A + B x^{3} + 4 x^{2} B + 4 x B + C x^{2} + D x^{3} + 2 D x^{2} + 4 A$

Schritt 1.7.6

Bewege $4 x B$ .

$1 = A x^{2} + 4 x A + B x^{3} + 4 x^{2} B + C x^{2} + D x^{3} + 2 D x^{2} + 4 x B + 4 A$

Schritt 1.7.7

Bewege $4 x A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{3} + 4 x^{2} B + C x^{2} + D x^{3} + 2 D x^{2} + 4 x A + 4 x B + 4 A$

Schritt 1.7.8

Bewege $C x^{2}$ .

$1 = A x^{2} + B x^{3} + 4 x^{2} B + D x^{3} + C x^{2} + 2 D x^{2} + 4 x A + 4 x B + 4 A$

Schritt 1.7.9

Bewege $4 x^{2} B$ .

$1 = A x^{2} + B x^{3} + D x^{3} + 4 x^{2} B + C x^{2} + 2 D x^{2} + 4 x A + 4 x B + 4 A$

Schritt 1.7.10

Bewege $A x^{2}$ .

$1 = B x^{3} + D x^{3} + A x^{2} + 4 x^{2} B + C x^{2} + 2 D x^{2} + 4 x A + 4 x B + 4 A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B + D$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + 4 B + C + 2 D$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = 4 A + 4 B$

Schritt 2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = 4 A$

Schritt 2.5

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B + D$

$0 = A + 4 B + C + 2 D$

$0 = 4 A + 4 B$

$1 = 4 A$

$0 = B + D$

$0 = A + 4 B + C + 2 D$

$0 = 4 A + 4 B$

$1 = 4 A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Löse in $1 = 4 A$ nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $4 A = 1$ um.

$4 A = 1$

$0 = B + D$

$0 = A + 4 B + C + 2 D$

$0 = 4 A + 4 B$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = A + 4 B + C + 2 D$

$0 = 4 A + 4 B$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = A + 4 B + C + 2 D$

$0 = 4 A + 4 B$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = A + 4 B + C + 2 D$

$0 = 4 A + 4 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = A + 4 B + C + 2 D$

$0 = 4 A + 4 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = A + 4 B + C + 2 D$

$0 = 4 A + 4 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = A + 4 B + C + 2 D$

$0 = 4 A + 4 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = A + 4 B + C + 2 D$

$0 = 4 A + 4 B$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $\frac{1}{4}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + 4 B + C + 2 D$ durch $\frac{1}{4}$ .

$0 = (\frac{1}{4}) + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = 4 A + 4 B$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = 4 A + 4 B$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = 4 A + 4 B$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $A$ in $0 = 4 A + 4 B$ durch $\frac{1}{4}$ .

$0 = 4 (\frac{1}{4}) + 4 B$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 = 4 (\frac{1}{4}) + 4 B$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.2.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$0 = 1 + 4 B$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = 1 + 4 B$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = 1 + 4 B$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = 1 + 4 B$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.3

Löse in $0 = 1 + 4 B$ nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $1 + 4 B = 0$ um.

$1 + 4 B = 0$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 B = - 1$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 B = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 B = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{- 1}{4}$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 B}{4} = \frac{- 1}{4}$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{- 1}{4}$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$B = \frac{- 1}{4}$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$B = \frac{- 1}{4}$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = - \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$B = - \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$B = - \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$B = - \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- \frac{1}{4}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Ersetze alle $B$ in $0 = \frac{1}{4} + 4 B + C + 2 D$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$0 = \frac{1}{4} + 4 (- \frac{1}{4}) + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $\frac{1}{4} + 4 (- \frac{1}{4}) + C + 2 D$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$0 = \frac{1}{4} + 4 (\frac{- 1}{4}) + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 = \frac{1}{4} + 4 (\frac{- 1}{4}) + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$0 = \frac{1}{4} - 1 + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = \frac{1}{4} - 1 + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.4.2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$0 = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.4.2.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$0 = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$0 = \frac{1 - 4}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.4.2.1.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$0 = \frac{- 3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = \frac{- 3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = B + D$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $B$ in $0 = B + D$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + D$

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Entferne die Klammern.

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.5

Löse in $0 = - \frac{1}{4} + D$ nach $D$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{4} + D = 0$ um.

$- \frac{1}{4} + D = 0$

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.5.2

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$D = \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$D = \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 D$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $D$ durch $\frac{1}{4}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Ersetze alle $D$ in $0 = - \frac{3}{4} + C + 2 D$ durch $\frac{1}{4}$ .

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 (\frac{1}{4})$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $- \frac{3}{4} + C + 2 (\frac{1}{4})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 (\frac{1}{2 (2)})$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 = - \frac{3}{4} + C + 2 (\frac{1}{2 \cdot 2})$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$0 = - \frac{3}{4} + C + \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{3}{4} + C + \frac{1}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6.2.1.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 = C - \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$0 = C - \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 = C - \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = C - \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 = C + \frac{- 3 + 2}{4}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6.2.1.5

Addiere $- 3$ und $2$ .

$0 = C + \frac{- 1}{4}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.6.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 = C - \frac{1}{4}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = C - \frac{1}{4}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = C - \frac{1}{4}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = C - \frac{1}{4}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.7

Löse in $0 = C - \frac{1}{4}$ nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $C - \frac{1}{4} = 0$ um.

$C - \frac{1}{4} = 0$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.7.2

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = \frac{1}{4}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{4}$

$D = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.8

Löse das Gleichungssystem.

$C = \frac{1}{4} D = \frac{1}{4} B = - \frac{1}{4} A = \frac{1}{4}$

Schritt 3.9

Liste alle Lösungen auf.

$C = \frac{1}{4}, D = \frac{1}{4}, B = - \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Schritt 4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{D}{x + 2}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ , $C$ und $D$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{4}}{x^{2}} - \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x + 2}$