Elementarmathematik Beispiele

$\frac{- 1}{x^{2} (x^{2} + 4)}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x^{2} (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(- 1) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} (x^{2} + 4)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} (x^{2} + 4)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 1) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.1.2

Dividiere $A (x^{2} + 4)$ durch $1$ .

$- 1 = A (x^{2} + 4) + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $A$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $x$ aus $B (x^{2} (x^{2} + 4))$ heraus.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{B (x (x^{2} + 4))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.4.2.5

Dividiere $B (x (x^{2} + 4))$ durch $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x (x^{2} + 4)) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x^{1 + 2} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x^{3} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x^{3} + 4 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + B (4 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 4$ .

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Schritt 1.5.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Schritt 1.5.10.2

Dividiere $(C x + D) (x^{2})$ durch $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + (C x + D) (x^{2})$

Schritt 1.5.11

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Schritt 1.5.12

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.12.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Schritt 1.5.12.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.12.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Schritt 1.5.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Schritt 1.5.12.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C x^{3} + D x^{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.6.1

Bewege $B$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 x B + C x^{3} + D x^{2}$

Schritt 1.6.2

Bewege $4 A$ .

$- 1 = A x^{2} + B x^{3} + 4 x B + C x^{3} + D x^{2} + 4 A$

Schritt 1.6.3

Bewege $4 x B$ .

$- 1 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + 4 x B + 4 A$

Schritt 1.6.4

Bewege $A x^{2}$ .

$- 1 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + 4 x B + 4 A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B + C$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + D$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = 4 B$

Schritt 2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 1 = 4 A$

Schritt 2.5

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = 4 B$

$- 1 = 4 A$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = 4 B$

$- 1 = 4 A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in $0 = 4 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $4 B = 0$ um.

$4 B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 B = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 B = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $B$ in $0 = B + C$ durch $0$ .

$0 = (0) + C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $0$ und $C$ .

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Schritt 3.2.3

Schreibe die Gleichung als $4 A = - 1$ um.

$4 A = - 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $4 A = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 A = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- \frac{1}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$0 = A + D$

Schritt 3.3.2

Ersetze alle $A$ in $0 = A + D$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Entferne die Klammern.

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Schritt 3.4

Löse in $0 = - \frac{1}{4} + D$ nach $D$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{4} + D = 0$ um.

$- \frac{1}{4} + D = 0$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$D = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$D = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Schritt 3.5

Löse das Gleichungssystem.

$D = \frac{1}{4} C = 0 A = - \frac{1}{4} B = 0$

Schritt 3.6

Liste alle Lösungen auf.

$D = \frac{1}{4}, C = 0, A = - \frac{1}{4}, B = 0$

Schritt 4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ , $C$ und $D$ ermittelt wurden.

$- \frac{\frac{1}{4}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 x + \frac{1}{4}}{x^{2} + 4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 + \frac{1}{4}}{x^{2} + 4}$

Schritt 5.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x^{2} + 4}$