Elementarmathematik Beispiele

$\frac{27 - 4 x}{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 9 x}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 9 x}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9}$

Schritt 1.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ heraus.

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 9}$

Schritt 1.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 9$ heraus.

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x + 9)}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x + 3^{2})}$

Schritt 1.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 1.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}$

Schritt 1.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{27 - 4 x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{C}{x - 3}$

Schritt 1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{(27 - 4 x) (x {(x - 3)}^{2})}{x {(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(27 - 4 x) (x {(x - 3)}^{2})}{x {(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(27 - 4 x) ({(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(27 - 4 x) {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $27 - 4 x$ durch $1$ .

$27 - 4 x = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.7

Stelle $27$ und $- 4 x$ um.

$- 4 x + 27 = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 x + 27 = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.1.2

Dividiere $A ({(x - 3)}^{2})$ durch $1$ .

$- 4 x + 27 = A ({(x - 3)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.2

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$- 4 x + 27 = A ((x - 3) (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.3

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x + 27 = A (x (x - 3) - 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x + 27 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x + 27 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.4.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.4.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 6 x + 9) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x + 27 = A x^{2} + A (- 6 x) + A \cdot 9 + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.6

Vereinfache.

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Schritt 1.8.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + A \cdot 9 + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.6.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.8.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{B (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.7.2

Dividiere $(B) (x)$ durch $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Schritt 1.8.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 3)}^{2}$ und $x - 3$ .

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Schritt 1.8.8.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(C) (x {(x - 3)}^{2})$ heraus.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{x - 3}$

Schritt 1.8.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.8.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{(x - 3) \cdot 1}$

Schritt 1.8.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{(x - 3) \cdot 1}$

Schritt 1.8.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{C (x (x - 3))}{1}$

Schritt 1.8.8.2.4

Dividiere $C (x (x - 3))$ durch $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x (x - 3))$

Schritt 1.8.9

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 3)$

Schritt 1.8.10

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 3)$

Schritt 1.8.11

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x^{2} - 3 \cdot x)$

Schritt 1.8.12

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C x^{2} + C (- 3 x)$

Schritt 1.8.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Schritt 1.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.9.1

Bewege $A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Schritt 1.9.2

Stelle $B$ und $x$ um.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Schritt 1.9.3

Bewege $9 A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + B x + C x^{2} - 3 C x + 9 A$

Schritt 1.9.4

Bewege $B x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + C x^{2} + B x - 3 C x + 9 A$

Schritt 1.9.5

Bewege $- 6 x A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} + C x^{2} - 6 x A + B x - 3 C x + 9 A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + C$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$27 = 9 A$

Schritt 2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$27 = 9 A$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$27 = 9 A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in $27 = 9 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $9 A = 27$ um.

$9 A = 27$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $9 A = 27$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 A = 27$ durch $9$ .

$\frac{9 A}{9} = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 A}{9} = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividiere $27$ durch $9$ .

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + C$ durch $3$ .

$0 = (3) + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $A$ in $- 4 = - 6 A + B - 3 C$ durch $3$ .

$- 4 = - 6 \cdot 3 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

Schritt 3.3

Löse in $0 = 3 + C$ nach $C$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $3 + C = 0$ um.

$3 + C = 0$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = - 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

$C = - 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $C$ in $- 4 = - 18 + B - 3 C$ durch $- 3$ .

$- 4 = - 18 + B - 3 \cdot - 3$

$C = - 3$

$A = 3$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $- 18 + B - 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$- 4 = - 18 + B + 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Schritt 3.4.2.1.2

Addiere $- 18$ und $9$ .

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Schritt 3.5

Löse in $- 4 = B - 9$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $B - 9 = - 4$ um.

$B - 9 = - 4$

$C = - 3$

$A = 3$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 4 + 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $- 4$ und $9$ .

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

Schritt 3.6

Löse das Gleichungssystem.

$B = 5 C = - 3 A = 3$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$B = 5, C = - 3, A = 3$

Schritt 4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{C}{x - 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{3}{x} + \frac{5}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 3}{x - 3}$