Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{3} (x - 5)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{3} \cdot (y - 5)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot (y - 5) = x$ um.

$\frac{1}{3} \cdot (y - 5) = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot (y - 5)) = 3 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \cdot (y - 5))$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{1}{3} y + \frac{1}{3} \cdot - 5) = 3 x$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y$ .

$3 (\frac{y}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5) = 3 x$

Schritt 2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 5$ .

$3 (\frac{y}{3} + \frac{- 5}{3}) = 3 x$

Schritt 2.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{y}{3} - \frac{5}{3}) = 3 x$

Schritt 2.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \frac{y}{3} + 3 (- \frac{5}{3}) = 3 x$

Schritt 2.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y}{3} + 3 (- \frac{5}{3}) = 3 x$

Schritt 2.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 3 (- \frac{5}{3}) = 3 x$

Schritt 2.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{3}$ in den Zähler.

$y + 3 (\frac{- 5}{3}) = 3 x$

Schritt 2.3.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 3 (\frac{- 5}{3}) = 3 x$

Schritt 2.3.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 5 = 3 x$

Schritt 2.4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3 x + 5$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 3 x + 5$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 3 x + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (x - 5)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) + 5$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 5) + 5$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5) + 5$

Schritt 4.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{x}{3} - \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{3}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x + 3 (\frac{- 5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x + 3 (\frac{- 5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x - 5 + 5$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (3 x + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot ((3 x + 5) - 5)$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(3 x + 5) - 5$ .

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 0)$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Schritt 4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (3 x + 5) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 3 x + 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (x - 5)$ .

$f^{- 1} (x) = 3 x + 5$