Elementarmathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & - 1 & - 1 \\ - 5 & - 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$3 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 (- 1 \cdot 2 - - - 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (- 2 - - - 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $- - - 1$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 (- 2 - 1 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 (- 2 - 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$3 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot - 3 - 2 (4 \cdot 2 - (- 5 \cdot - 1)) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (8 - (- 5 \cdot - 1)) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $- (- 5 \cdot - 1)$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (8 - 1 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (8 - 5) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (4 \cdot - 1 - (- 5 \cdot - 1))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (- 4 - (- 5 \cdot - 1))$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $- (- 5 \cdot - 1)$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (- 4 - 1 \cdot 5)$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (- 4 - 5)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot - 9$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 9 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot - 9$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 9 - 6 + 1 \cdot - 9$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- 9 - 6 - 9$

Schritt 5.2

Subtrahiere $6$ von $- 9$ .

$- 15 - 9$

Schritt 5.3

Subtrahiere $9$ von $- 15$ .

$- 24$