Elementarmathematik Beispiele

$(1, \frac{7 π}{4})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(1)}^{2} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \sqrt{1 + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7 π}{4}$ an.

$r = \sqrt{1 + \frac{{(7 π)}^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $7 π$ an.

$r = \sqrt{1 + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{1 + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$r = \sqrt{1 + \frac{49 π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{1 + \frac{49 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{16}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{16 + 49 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Schreibe $\sqrt{\frac{16 + 49 π^{2}}{16}}$ als $\frac{\sqrt{16 + 49 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ um.

$r = \frac{\sqrt{16 + 49 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{16 + 49 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \frac{\sqrt{16 + 49 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{16 + 49 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{16 + 49 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \frac{\sqrt{16 + 49 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{7 π}{4}}{1})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\frac{7 π}{4}$ ist $θ = 79.69109475 °$ .

$r = \frac{\sqrt{16 + 49 π^{2}}}{4}$

$θ = 79.69109475 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\frac{\sqrt{16 + 49 π^{2}}}{4}, 79.69109475 °)$