Elementarmathematik Beispiele

$y = {(5 x^{2} + 3)}^{4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 5 x^{2} + 3$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2} + 3$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + 0)$

Schritt 4.2

Addiere $10 x$ und $0$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren von $40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$ um.

$40 x {(5 x^{2} + 3)}^{3}$