Elementarmathematik Beispiele

${(5 p + 1)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5 p)}^{4 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5 p)}^{4 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5 p)}^{4 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5 p)}^{4 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5 p)}^{4 - 3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5 p)}^{4 - 4} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(5 p)}^{4} \cdot {(1)}^{0} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{0}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Bewege ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere ${(1)}^{0}$ mit $1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1^{0 + 1} \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$1^{1} \cdot {(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache $1^{1} \cdot {(5 p)}^{4}$ .

${(5 p)}^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $5 p$ an.

$5^{4} p^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.4

Potenziere $5$ mit $4$ .

$625 p^{4} + 4 \cdot {(5 p)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.5

Wende die Produktregel auf $5 p$ an.

$625 p^{4} + 4 \cdot (5^{3} p^{3}) \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.6

Potenziere $5$ mit $3$ .

$625 p^{4} + 4 \cdot (125 p^{3}) \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $125$ mit $4$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.8

Berechne den Exponenten.

$625 p^{4} + 500 p^{3} \cdot 1 + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $500$ mit $1$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 6 \cdot {(5 p)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $5 p$ an.

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 6 \cdot (5^{2} p^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.11

Potenziere $5$ mit $2$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 6 \cdot (25 p^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $25$ mit $6$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} \cdot 1 + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $150$ mit $1$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 4 \cdot {(5 p)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.15

Vereinfache.

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 4 \cdot (5 p) \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.17

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p \cdot 1 + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1 \cdot {(5 p)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.19

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.19.1

Bewege ${(1)}^{4}$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + {(1)}^{4} \cdot 1 \cdot {(5 p)}^{0}$

Schritt 4.19.2

Mutltipliziere ${(1)}^{4}$ mit $1$ .

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Schritt 4.19.2.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} \cdot {(5 p)}^{0}$

Schritt 4.19.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1^{4 + 1} \cdot {(5 p)}^{0}$

Schritt 4.19.3

Addiere $4$ und $1$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1^{5} \cdot {(5 p)}^{0}$

Schritt 4.20

Vereinfache $1^{5} \cdot {(5 p)}^{0}$ .

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1^{5}$

Schritt 4.21

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$625 p^{4} + 500 p^{3} + 150 p^{2} + 20 p + 1$