Elementarmathematik Beispiele

$3 {(x - 4)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$3 {(x - 4)}^{2} + 3 {(0)}^{2} = 12$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $3 {(0)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 {(x - 4)}^{2} = 12 - 3 {(0)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $12 - 3 {(0)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 12 - 3 \cdot 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 12 + 0$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $12$ und $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 12$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x - 4)}^{2} = 12$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x - 4)}^{2} = 12$ durch $3$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere ${(x - 4)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{12}{3}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $12$ durch $3$ .

${(x - 4)}^{2} = 4$

Schritt 1.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x - 4 = \pm \sqrt{4}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - 4 = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - 4 = \pm 2$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 4 = 2$

Schritt 1.2.6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 + 4$

Schritt 1.2.6.2.2

Addiere $2$ und $4$ .

$x = 6$

Schritt 1.2.6.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 4 = - 2$

Schritt 1.2.6.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.4.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 + 4$

Schritt 1.2.6.4.2

Addiere $- 2$ und $4$ .

$x = 2$

Schritt 1.2.6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 6, 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(6, 0), (2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$3 {((0) - 4)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 {((0) - 4)}^{2} + 3 y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$3 {(- 4)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$3 \cdot 16 + 3 y^{2} = 12$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$48 + 3 y^{2} = 12$

Schritt 2.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $48$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} = 12 - 48$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $48$ von $12$ .

$3 y^{2} = - 36$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} = - 36$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} = - 36$ durch $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{- 36}{3}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{- 36}{3}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 36}{3}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $- 36$ durch $3$ .

$y^{2} = - 12$

Schritt 2.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 12}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 12}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

Schritt 2.2.5.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \pm i \cdot \sqrt{12}$

Schritt 2.2.5.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.2.5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

Schritt 2.2.5.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Schritt 2.2.5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

Schritt 2.2.5.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(6, 0), (2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 4