Elementarmathematik Beispiele

$2 {(x - 5)}^{2} + 2 y^{2} = 8$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$2 {(x - 5)}^{2} + 2 {(0)}^{2} = 8$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $2 {(0)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 {(x - 5)}^{2} = 8 - 2 {(0)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $8 - 2 {(0)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 {(x - 5)}^{2} = 8 - 2 \cdot 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$2 {(x - 5)}^{2} = 8 + 0$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $8$ und $0$ .

$2 {(x - 5)}^{2} = 8$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x - 5)}^{2} = 8$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x - 5)}^{2} = 8$ durch $2$ .

$\frac{2 {(x - 5)}^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(x - 5)}^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere ${(x - 5)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $8$ durch $2$ .

${(x - 5)}^{2} = 4$

Schritt 1.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x - 5 = \pm \sqrt{4}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - 5 = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - 5 = \pm 2$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 5 = 2$

Schritt 1.2.6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 + 5$

Schritt 1.2.6.2.2

Addiere $2$ und $5$ .

$x = 7$

Schritt 1.2.6.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 5 = - 2$

Schritt 1.2.6.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.4.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 + 5$

Schritt 1.2.6.4.2

Addiere $- 2$ und $5$ .

$x = 3$

Schritt 1.2.6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 7, 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(7, 0), (3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$2 {((0) - 5)}^{2} + 2 y^{2} = 8$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 {((0) - 5)}^{2} + 2 y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$2 {(- 5)}^{2} + 2 y^{2} = 8$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$2 \cdot 25 + 2 y^{2} = 8$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$50 + 2 y^{2} = 8$

Schritt 2.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $50$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} = 8 - 50$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $50$ von $8$ .

$2 y^{2} = - 42$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = - 42$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = - 42$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{- 42}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{- 42}{2}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 42}{2}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $- 42$ durch $2$ .

$y^{2} = - 21$

Schritt 2.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 21}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 21}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Schreibe $- 21$ als $- 1 (21)$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1 (21)}$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (21)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{21}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{21}$

Schritt 2.2.5.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \pm i \sqrt{21}$

Schritt 2.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = i \sqrt{21}$

Schritt 2.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - i \sqrt{21}$

Schritt 2.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = i \sqrt{21}, - i \sqrt{21}$

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(7, 0), (3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 4