Elementarmathematik Beispiele

$y = 2^{x + 2} - 5$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2^{x + 2} - 5$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x + 2} - 5 = 0$ um.

$2^{x + 2} - 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{x + 2} = 5$

Schritt 1.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x + 2}) = \ln (5)$

Schritt 1.2.4

Zerlege $\ln (2^{x + 2})$ durch Herausziehen von $x + 2$ aus dem Logarithmus.

$(x + 2) \ln (2) = \ln (5)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (5)$

Schritt 1.2.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (2) + 2 \ln (2) - \ln (5) = 0$

Schritt 1.2.7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.7.1

Subtrahiere $2 \ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) - \ln (5) = - 2 \ln (2)$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $\ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) = - 2 \ln (2) + \ln (5)$

Schritt 1.2.8

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = - 2 \ln (2) + \ln (5)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = - 2 \ln (2) + \ln (5)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (5)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (5)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (5)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 1.2.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (5)}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.8.3.1.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$x = - 2 + \frac{\ln (5)}{\ln (2)}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2 + \frac{\ln (5)}{\ln (2)}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2^{(0) + 2} - 5$

Schritt 2.2

Vereinfache $2^{(0) + 2} - 5$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Addiere $0$ und $2$ .

$y = 2^{2} - 5$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 4 - 5$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$y = - 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2 + \frac{\ln (5)}{\ln (2)}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 4