Elementarmathematik Beispiele

$y = x^{4} - 2 x^{2} - 8$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{4} - 2 x^{2} - 8$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$ um.

$x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 2 u - 8 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $u^{2} - 2 u - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u + 2) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 2 = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 1.2.6

Setze $u + 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $u + 2$ gleich $0$ .

$u + 2 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 2$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 4) (u + 2) = 0$ wahr machen.

$u = 4, - 2$

Schritt 1.2.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 2$

Schritt 1.2.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 4$

Schritt 1.2.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 1.2.10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 1.2.10.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.10.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 1.2.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 1.2.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 1.2.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 1.2.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 2$

Schritt 1.2.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 2$

Schritt 1.2.12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 1.2.12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 1.2.12.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 1.2.12.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 1.2.12.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.13

Die Lösung von $x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$ ist $x = 2, - 2, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$ .

$x = 2, - 2, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2, 0), (- 2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 2 \cdot 0^{2} - 8$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} - 8$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 2 {(0)}^{2} - 8$

Schritt 2.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0 - 8$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 8$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 8$

Schritt 2.2.4.2.2

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$y = - 8$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 8)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2, 0), (- 2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 8)$

Schritt 4