Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + 12 x^{3} + 37 x^{2} + 12 x + 36$

Schritt 1

Setze $x^{4} + 12 x^{3} + 37 x^{2} + 12 x + 36$ gleich $0$ .

$x^{4} + 12 x^{3} + 37 x^{2} + 12 x + 36 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$12 x^{3} + 12 x + x^{4} + 37 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{3} + 12 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$12 x (x^{2}) + 12 x + x^{4} + 37 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x$ heraus.

$12 x (x^{2}) + 12 x (1) + x^{4} + 37 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (x^{2}) + 12 x (1)$ heraus.

$12 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 37 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$12 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 37 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 37 u + 36 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $u^{2} + 37 u + 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $36$ und deren Summe $37$ ist.

$1, 36$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$12 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 36) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $12 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 36)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $12 x (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (12 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) (12 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 36)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (12 x + x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 1) (12 u + u^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.9.1

Ordne Terme um.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 12 u + 36) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 12 u + 6^{2}) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 u = 2 \cdot u \cdot 6$

Schritt 2.1.9.4

Schreibe das Polynom neu.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Schritt 2.1.9.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 6$ .

$(x^{2} + 1) {(u + 6)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.10

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 1) {(x + 6)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

${(x + 6)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.4

Setze ${(x + 6)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x + 6)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x + 6)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 1) {(x + 6)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, - 6$

Schritt 3