Elementarmathematik Beispiele

$x^{5} + x^{3} - 56 x$

Schritt 1

Setze $x^{5} + x^{3} - 56 x$ gleich $0$ .

$x^{5} + x^{3} - 56 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} + x^{3} - 56 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x^{3} - 56 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} - 56 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 56 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 56 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2}$ heraus.

$x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 56 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 56$ heraus.

$x (x^{4} + x^{2} - 56) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} + x^{2} - 56) = 0$

Schritt 2.1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} + u - 56) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $u^{2} + u - 56$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 56$ und deren Summe $1$ ist.

$- 7, 8$

Schritt 2.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 7) (u + 8)) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 7) (x^{2} + 8)) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{2} - 7) (x^{2} + 8) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

$x^{2} + 8 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} - 7$ gleich $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 7$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{7}$

Schritt 2.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{7}$

Schritt 2.4.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{7}$

Schritt 2.4.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} + 8$ gleich $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 8$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Schritt 2.5.2.3.1

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Schritt 2.5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Schritt 2.5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Schritt 2.5.2.3.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.5.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Schritt 2.5.2.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Schritt 2.5.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} - 7) (x^{2} + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 3