Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ gleich $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 2.5

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 2.6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.6.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 3