Elementarmathematik Beispiele

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$

Schritt 1

Setze $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ gleich $0$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 256, \pm 2, \pm 128, \pm 4, \pm 64, \pm 8, \pm 32, \pm 16$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.00390625, \pm 0.5, \pm 0.0078125, \pm 0.25, \pm 0.015625, \pm 0.125, \pm 0.03125, \pm 0.0625, \pm 81, \pm 0.31640625, \pm 40.5, \pm 0.6328125, \pm 20.25, \pm 1.265625, \pm 10.125, \pm 2.53125, \pm 5.0625, \pm 3, \pm 0.01171875, \pm 1.5, \pm 0.0234375, \pm 0.75, \pm 0.046875, \pm 0.375, \pm 0.09375, \pm 0.1875, \pm 27, \pm 0.10546875, \pm 13.5, \pm 0.2109375, \pm 6.75, \pm 0.421875, \pm 3.375, \pm 0.84375, \pm 1.6875, \pm 9, \pm 0.03515625, \pm 4.5, \pm 0.0703125, \pm 2.25, \pm 0.140625, \pm 1.125, \pm 0.28125, \pm 0.5625$

Schritt 2.1.1.3

Setze $- 0.75$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.75$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $- 0.75$ in das Polynom ein.

$256 {(- 0.75)}^{4} + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $- 0.75$ mit $4$ .

$256 \cdot 0.31640625 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $256$ mit $0.31640625$ .

$81 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $- 0.75$ mit $3$ .

$81 + 768 \cdot - 0.421875 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $768$ mit $- 0.421875$ .

$81 - 324 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Schritt 2.1.1.3.6

Subtrahiere $324$ von $81$ .

$- 243 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Schritt 2.1.1.3.7

Potenziere $- 0.75$ mit $2$ .

$- 243 + 864 \cdot 0.5625 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Schritt 2.1.1.3.8

Mutltipliziere $864$ mit $0.5625$ .

$- 243 + 486 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Schritt 2.1.1.3.9

Addiere $- 243$ und $486$ .

$243 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Schritt 2.1.1.3.10

Mutltipliziere $432$ mit $- 0.75$ .

$243 - 324 + 81$

Schritt 2.1.1.3.11

Subtrahiere $324$ von $243$ .

$- 81 + 81$

Schritt 2.1.1.3.12

Addiere $- 81$ und $81$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $- 0.75$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $4 x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81}{4 x + 3}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ durch $4 x + 3$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $256 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $256 x^{4} + 192 x^{3}$

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $576 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $576 x^{3} + 432 x^{2}$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $432 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $432 x^{2} + 324 x$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

Schritt 2.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $108 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $108 x + 81$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

Schritt 2.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

$0$

Schritt 2.1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ als eine Menge von Faktoren.

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27) = 0$

Schritt 2.1.2

Gruppiere die Terme um.

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $64 x^{3}$ als ${(4 x)}^{3}$ um.

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 3^{3} + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Schritt 2.1.5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 4 x$ und $b = 3$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Schritt 2.1.6.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Schritt 2.1.6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Schritt 2.1.6.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $36 x$ aus $144 x^{2} + 108 x$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $36 x$ aus $144 x^{2}$ heraus.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 108 x) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $36 x$ aus $108 x$ heraus.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 36 x (3)) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $36 x$ aus $36 x (4 x) + 36 x (3)$ heraus.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere $4 x + 3$ aus $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)$ heraus.

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Schritt 2.1.8.1

Faktorisiere $4 x + 3$ aus $36 x (4 x + 3)$ heraus.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Faktorisiere $4 x + 3$ aus $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)$ heraus.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9 + 36 x)) = 0$

Schritt 2.1.9

Addiere $- 12 x$ und $36 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} + 24 x + 9)) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.10.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.10.1.1

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 9)) = 0$

Schritt 2.1.10.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 3^{2})) = 0$

Schritt 2.1.10.1.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$24 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 3$

Schritt 2.1.10.1.4

Schreibe das Polynom neu.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Schritt 2.1.10.1.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 4 x$ und $b = 3$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.11

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 2.1.11.1

Potenziere $4 x + 3$ mit $1$ .

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.11.2

Potenziere $4 x + 3$ mit $1$ .

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.11.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(4 x + 3)}^{1 + 1} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.11.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(4 x + 3)}^{2} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.11.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(4 x + 3)}^{2 + 2} = 0$

Schritt 2.1.11.6

Addiere $2$ und $2$ .

${(4 x + 3)}^{4} = 0$

Schritt 2.2

Setze $4 x + 3$ gleich $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 3$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{4}$

Schritt 3