Elementarmathematik Beispiele

$5 x^{4} - 4 x^{3} + 44 x^{2} - 36 x - 9$

Schritt 1

Setze $5 x^{4} - 4 x^{3} + 44 x^{2} - 36 x - 9$ gleich $0$ .

$5 x^{4} - 4 x^{3} + 44 x^{2} - 36 x - 9 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 4 x^{3} - 36 x + 5 x^{4} + 44 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3} - 36 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} - 36 x + 5 x^{4} + 44 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 36 x$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 9 + 5 x^{4} + 44 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x (x^{2}) - 4 x (9)$ heraus.

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 x^{4} + 44 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 {(x^{2})}^{2} + 44 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 u^{2} + 44 u - 9 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 9 = - 45$ und deren Summe gleich $b = 44$ ist.

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Schritt 2.1.5.1.1

Faktorisiere $44$ aus $44 u$ heraus.

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 u^{2} + 44 (u) - 9 = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Schreibe $44$ um als $- 1$ plus $45$

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 u^{2} + (- 1 + 45) u - 9 = 0$

Schritt 2.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 u^{2} - 1 u + 45 u - 9 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 u^{2} - 1 u + 45 u - 9 = 0$

Schritt 2.1.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 4 x (x^{2} + 9) + u (5 u - 1) + 9 (5 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 u - 1$ .

$- 4 x (x^{2} + 9) + (5 u - 1) (u + 9) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 9) + (5 x^{2} - 1) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $- 4 x (x^{2} + 9) + (5 x^{2} - 1) (x^{2} + 9)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $- 4 x (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (- 4 x) + (5 x^{2} - 1) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(5 x^{2} - 1) (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (- 4 x) + (x^{2} + 9) (5 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(x^{2} + 9) (- 4 x) + (x^{2} + 9) (5 x^{2} - 1)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (- 4 x + 5 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 9) (- 4 u + 5 u^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.9.1

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 9) (5 u^{2} - 4 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 2.1.9.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 u$ heraus.

$(x^{2} + 9) (5 u^{2} - 4 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2.2

Schreibe $- 4$ um als $1$ plus $- 5$

$(x^{2} + 9) (5 u^{2} + (1 - 5) u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 9) (5 u^{2} + 1 u - 5 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$(x^{2} + 9) (5 u^{2} + u - 5 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} + 9) ((5 u^{2} + u) - 5 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} + 9) (u (5 u + 1) - (5 u + 1)) = 0$

Schritt 2.1.9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 u + 1$ .

$(x^{2} + 9) ((5 u + 1) (u - 1)) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 9) ((5 x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 9) (5 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$5 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 2.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.3.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 2.3.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 2.4

Setze $5 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $5 x + 1$ gleich $0$ .

$5 x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $5 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 1$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{5}$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 9) (5 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3 i, - 3 i, - \frac{1}{5}, 1$

Schritt 3